Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
y-x \frac{d y}{d x}=y \ln \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y - x\frac{dy}{dx} \;=\; y \ln\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr)
e pede para resolver usando uma substituição apropriada. Esse tipo de equação sugere introduzir a variável
\displaystyle t = \ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
para tornar a equação separável em t e x.

Passo 2

Definimos
t = \ln\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} = e^{t} \quad\Longrightarrow\quad y = x\,e^{-t}.
Agora precisamos de \tfrac{dy}{dx}. Pela regra do produto e da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x e^{-t}\bigr) = e^{-t} + x\,\bigl(-e^{-t}\bigr)\frac{dt}{dx} = e^{-t}\Bigl(1 - x\frac{dt}{dx}\Bigr).

Passo 3

No lado direito da equação original temos
\frac{y}{x}\,\bigl(1 - t\bigr) = e^{-t}\bigl(1 - t\bigr).
Logo a equação y - x\,dy/dx = y\,t reescrita em termos de t e x fica
e^{-t}\Bigl(1 - x\frac{dt}{dx}\Bigr) = e^{-t}\bigl(1 - t\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1 - x\frac{dt}{dx} = 1 - t \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dt}{dx} = t.

Passo 4

A equação em t é separável:
\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}\,dx.
Integrando ambos os lados,
\ln\bigl|t\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad t = A\,x,
onde A = \pm e^{C} é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos
\ln\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr) = A\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} = e^{A x} \quad\Longrightarrow\quad y = x\,e^{-A x}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x\,e^{-A x},
em que A é a constante de integração.

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