Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y-x \frac{d y}{d x}=y \ln \left(\frac{x}{y}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
y - x\frac{dy}{dx} \;=\; y \ln\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr)
e pede para resolver usando uma substituição apropriada. Esse tipo de equação sugere introduzir a variável \displaystyle t = \ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
para tornar a equação separável em t e x.
Passo 2
Definimos
t = \ln\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} = e^{t} \quad\Longrightarrow\quad y = x\,e^{-t}.
Agora precisamos de \tfrac{dy}{dx}. Pela regra do produto e da cadeia,