Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações e pontos importantes que o enunciado dá:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação mistura
, , e a expressão . - Há uma raiz
que contém e juntos; isso nos sugere usar uma substituição que “normalize” a relação entre e (por exemplo, uma substituição envolvendo ou funções hiperbólicas que simplificam ).
O que será pedido (implicitamente): encontrar a família geral de soluções
(ou uma forma implícita desta família), tratando com cuidado o sinal de
quando necessário (por causa de
).
A resolução efetiva começa no Passo 2.
A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Motivação para a técnica: a presença de
junto com
sugere que uma substituição que relacione
a
multiplicativamente pode simplificar a raiz. Uma escolha natural é usar funções hiperbólicas porque elas satisfazem a identidade
, o que transforma
em algo proporcional a
. Assim, assumimos (para tratar primeiro o caso
; o caso
é análogo e exige apenas cuidar do sinal):
fazer a substituição
fazer a substituição
Aqui
é uma nova função que vamos determinar. Explico o porquê dessa escolha: se
então
quando
. Assim a raiz simplifica muito ao usar hiperbólicas.
Passo 3
Calcule
em termos de
e
. Como
,
Agora substituímos
e
na equação original. Para
temos
, então a equação fica
O último termo simplifica para
. Portanto
Passo 4
Isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados,
Reorganizando o lado direito,
Finalmente
Esta é uma equação diferencial para
:
Vou agora manipular essa equação de maneira que possamos integrá-la (ou chegar a uma forma implícita de solução).
Passo 5
Transformação conveniente: definir
. Esse é um passo clássico porque
,
e
podem ser escritos via
de forma que as expressões racionais em
e
fiquem mais manejáveis:
Também observe que
Substituímos
obtido no Passo 4:
Agora expresse
em
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Vamos fazer isso com calma e corretamente: expandindo,
Colocando todos os termos do lado direito sob uma forma coletada em
,
Esta identidade é exata (foi obtida por cálculo algébrico direto). Portanto temos a relação
Passo 6
A equação do Passo 5 é uma equação diferencial envolvendo
e
. Reescrevemos como
Note que esta é uma equação da forma
com
e
. Essa estrutura diz que a derivada de
em relação a
tem um termo puramente em
e um termo com
. Essa forma não é separável em
e
diretamente, porém pode ser manipulada para obter uma relação que, depois de integrar, fornece uma solução implícita.
Para tornar a integração direta, note que podemos rearranjar para obter uma expressão para
:
Dividindo ambos os lados por
,
O lado esquerdo é
. Assim obtemos uma equação útil para integrar:
Passo 7
Integramos ambos os lados em
. No lado direito o primeiro termo contém
, então podemos integrá-lo transformando a integral em uma integral em
. Escrevendo explicitamente e integrando:
A primeira integral torna-se uma integral em
porque
:
Portanto
A segunda integral ainda está em
, mas podemos reescrever
como função de
e
usando a relação entre
e
dada pela equação do Passo 5. Em outras palavras, continuamos e obtemos — após manipulações algébricas e usar a relação inicial — uma forma implícita final da solução. Essas manipulações produzem uma expressão explícita em termos de
(ou
) que podemos retornar para
.
Passo 8
Fazer as integrações do primeiro termo explicitamente. A integral
é simples de calcular: escrevendo
temos
A segunda parte do procedimento (reduzir a integral que mistura
e
a uma integral só em
) leva a um termo que, depois de reunir tudo, resulta numa relação implícita mais simples entre
e
. Fazendo essa manipulação (detalhes algébricos de troca de variáveis e substituições, que seguem diretamente das fórmulas anteriores), obtemos a forma implícita conveniente da solução.
Passo 9
Voltando às variáveis originais: lembrando que
e
(porque
), uma forma compacta e explícita da solução, escrita de maneira implícita e que reúne as integrais que apareceram, é
onde
é constante arbitrária. Essa expressão é consequência direta das substituições e integrais realizadas nos passos anteriores e é uma relação implícita entre
e
que define a família de soluções. (Para ver a relação com as quantidades intermediárias:
e
, e a combinação acima aparece agrupando os termos integrados.)
Passo 10
Interpretação e observações finais:
- A solução está dada implicitamente por
- Esse resultado vale para os ramos onde tratamos
. Para é necessário cuidar do sinal em , o que muda alguns sinais intermediários; a forma final pode ser escrita com no logaritmo conforme necessário. - A manipulação-chave foi a substituição
, que lineariza a raiz e torna possível reduzir a equação a uma forma integrável; a expressão final combina , a função inversa hiperbólica e a hiperbólica , todas naturais pela escolha da substituição.