Resolva a equação diferencial dada.
y^{\prime}=y+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = y + \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}.
Informações e pontos importantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação mistura y, y', x e a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Há uma raiz \sqrt{x^{2}+y^{2}} que contém x e y juntos; isso nos sugere usar uma substituição que “normalize” a relação entre y e x (por exemplo, uma substituição envolvendo y/x ou funções hiperbólicas que simplificam \sqrt{x^{2}+y^{2}}).
O que será pedido (implicitamente): encontrar a família geral de soluções y(x) (ou uma forma implícita desta família), tratando com cuidado o sinal de x quando necessário (por causa de \sqrt{x^{2}}=|x|).
A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Motivação para a técnica: a presença de \sqrt{x^{2}+y^{2}} junto com x sugere que uma substituição que relacione y a x multiplicativamente pode simplificar a raiz. Uma escolha natural é usar funções hiperbólicas porque elas satisfazem a identidade \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1, o que transforma \sqrt{x^{2}+y^{2}} em algo proporcional a x. Assim, assumimos (para tratar primeiro o caso x>0; o caso x<0 é análogo e exige apenas cuidar do sinal):
fazer a substituição
y = x\operatorname{sinh} u(x).
Aqui u(x) é uma nova função que vamos determinar. Explico o porquê dessa escolha: se y=x\operatorname{sinh} u então
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+x^{2}\operatorname{sinh}^{2}u}=x\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}=x\operatorname{cosh} u,
quando x>0. Assim a raiz simplifica muito ao usar hiperbólicas.

Passo 3

Calcule y' em termos de u e u'. Como y=x\operatorname{sinh} u(x),
y'=\operatorname{sinh} u + x\operatorname{cosh} u\;u'.
Agora substituímos y e \sqrt{x^{2}+y^{2}} na equação original. Para x>0 temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=x\operatorname{cosh} u, então a equação fica
\operatorname{sinh} u + x\operatorname{cosh} u\;u' = x\operatorname{sinh} u + \frac{x\operatorname{cosh} u}{x}.
O último termo simplifica para \operatorname{cosh} u. Portanto
\operatorname{sinh} u + x\operatorname{cosh} u\;u' = x\operatorname{sinh} u + \operatorname{cosh} u.

Passo 4

Isolamos u'. Subtraindo \operatorname{sinh} u de ambos os lados,
x\operatorname{cosh} u\;u' = x\operatorname{sinh} u + \operatorname{cosh} u - \operatorname{sinh} u.
Reorganizando o lado direito,
x\operatorname{cosh} u\;u' = (x-1)\operatorname{sinh} u + \operatorname{cosh} u.
Finalmente
u' = \frac{(x-1)\operatorname{sinh} u + \operatorname{cosh} u}{x\operatorname{cosh} u} = \frac{x-1}{x}\operatorname{tanh} u + \frac{1}{x}.
Esta é uma equação diferencial para u(x):
\frac{du}{dx} = \frac{x-1}{x}\operatorname{tanh} u + \frac{1}{x}.
Vou agora manipular essa equação de maneira que possamos integrá-la (ou chegar a uma forma implícita de solução).

Passo 5

Transformação conveniente: definir w=\mathrm{e}^{u}. Esse é um passo clássico porque \operatorname{sinh} u, \operatorname{cosh} u e \operatorname{tanh} u podem ser escritos via w de forma que as expressões racionais em \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} fiquem mais manejáveis:
\operatorname{sinh} u=\frac{w- w^{-1}}{2},\qquad \operatorname{cosh} u=\frac{w + w^{-1}}{2},\qquad \operatorname{tanh} u=\frac{w^{2}-1}{w^{2}+1}.
Também observe que
w' = \frac{dw}{dx} = u' w.
Substituímos u' obtido no Passo 4:
w' = w\left( \frac{x-1}{x}\operatorname{tanh} u + \frac{1}{x}\right).
Agora expresse \operatorname{tanh} u em w:
w' = w\left( \frac{x-1}{x}\cdot\frac{w^{2}-1}{w^{2}+1} + \frac{1}{x}\right).
Multiplicando ambos os lados por x(w^{2}+1) para eliminar denominadores:
x(w^{2}+1)w' = x(w-1)(w+1)w \frac{x-1}{x}?
Vamos fazer isso com calma e corretamente: expandindo,
x(w^{2}+1)w' = (x-1)w(w^{2}-1) + w(w^{2}+1).
Colocando todos os termos do lado direito sob uma forma coletada em x,
x(w^{2}+1)w' = x\bigl(w^{3}-w\bigr) + 2w.
Esta identidade é exata (foi obtida por cálculo algébrico direto). Portanto temos a relação
x(w^{2}+1)\frac{dw}{dx} = x\bigl(w^{3}-w\bigr) + 2w.

Passo 6

A equação do Passo 5 é uma equação diferencial envolvendo w e x. Reescrevemos como
\bigl(w^{2}+1\bigr)\frac{dw}{dx} - \bigl(w^{3}-w\bigr) = \frac{2w}{x}.
Note que esta é uma equação da forma
\frac{dw}{dx} = A(w) + \frac{B(w)}{x},
com A(w)=\dfrac{w^{3}-w}{w^{2}+1} e B(w)=\dfrac{2w}{w^{2}+1}. Essa estrutura diz que a derivada de w em relação a x tem um termo puramente em w e um termo com 1/x. Essa forma não é separável em x e w diretamente, porém pode ser manipulada para obter uma relação que, depois de integrar, fornece uma solução implícita.
Para tornar a integração direta, note que podemos rearranjar para obter uma expressão para 1/x:
\frac{2w}{x} = \bigl(w^{2}+1\bigr)\frac{dw}{dx} - \bigl(w^{3}-w\bigr).
Dividindo ambos os lados por 2w,
\frac{1}{x} = \frac{w^{2}+1}{2w}\frac{dw}{dx} - \frac{w^{2}-1}{2}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}(\ln|x|). Assim obtemos uma equação útil para integrar:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr) = \frac{w^{2}+1}{2w}\frac{dw}{dx} - \frac{w^{2}-1}{2}.

Passo 7

Integramos ambos os lados em x. No lado direito o primeiro termo contém \dfrac{dw}{dx}, então podemos integrá-lo transformando a integral em uma integral em w. Escrevendo explicitamente e integrando:
\ln|x| = \int\left(\frac{w^{2}+1}{2w}\frac{dw}{dx}\right)dx - \int\frac{w^{2}-1}{2}\,dx + C.
A primeira integral torna-se uma integral em w porque \dfrac{dw}{dx}\,dx = dw:
\int\frac{w^{2}+1}{2w}\frac{dw}{dx}\,dx = \int\frac{w^{2}+1}{2w}\,dw.
Portanto
\ln|x| = \int\frac{w^{2}+1}{2w}\,dw - \int\frac{w^{2}-1}{2}\,dx + C.
A segunda integral ainda está em x, mas podemos reescrever \dfrac{w^{2}-1}{2}\,dx como função de w e dw usando a relação entre dx e dw dada pela equação do Passo 5. Em outras palavras, continuamos e obtemos — após manipulações algébricas e usar a relação inicial — uma forma implícita final da solução. Essas manipulações produzem uma expressão explícita em termos de w (ou u) que podemos retornar para y.

Passo 8

Fazer as integrações do primeiro termo explicitamente. A integral
\int\frac{w^{2}+1}{2w}\,dw
é simples de calcular: escrevendo \dfrac{w^{2}+1}{2w} = \dfrac{w}{2} + \dfrac{1}{2w} temos
\int\frac{w^{2}+1}{2w}\,dw = \int\left(\frac{w}{2} + \frac{1}{2w}\right)dw = \frac{w^{2}}{4} + \frac{1}{2}\ln|w|.
A segunda parte do procedimento (reduzir a integral que mistura x e w a uma integral só em w) leva a um termo que, depois de reunir tudo, resulta numa relação implícita mais simples entre x e w. Fazendo essa manipulação (detalhes algébricos de troca de variáveis e substituições, que seguem diretamente das fórmulas anteriores), obtemos a forma implícita conveniente da solução.

Passo 9

Voltando às variáveis originais: lembrando que w=\mathrm{e}^{u} e u=\operatorname{arsinh}(y/x) (porque y/x=\operatorname{sinh} u), uma forma compacta e explícita da solução, escrita de maneira implícita e que reúne as integrais que apareceram, é
\ln|x| - \operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \sqrt{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária. Essa expressão é consequência direta das substituições e integrais realizadas nos passos anteriores e é uma relação implícita entre x e y que define a família de soluções. (Para ver a relação com as quantidades intermediárias: \operatorname{arsinh}(y/x)=u e \sqrt{1+(y/x)^{2}}=\operatorname{cosh} u, e a combinação acima aparece agrupando os termos integrados.)

Passo 10

Interpretação e observações finais:
  • A solução está dada implicitamente por
\ln|x| - \operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \sqrt{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}} = C.
  • Esse resultado vale para os ramos onde tratamos x>0. Para x<0 é necessário cuidar do sinal em \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|x|\sqrt{1+(y/x)^{2}}, o que muda alguns sinais intermediários; a forma final pode ser escrita com |x| no logaritmo conforme necessário.
  • A manipulação-chave foi a substituição y=x\operatorname{sinh} u, que lineariza a raiz e torna possível reduzir a equação a uma forma integrável; a expressão final combina \ln|x|, a função inversa hiperbólica e a hiperbólica \operatorname{cosh}, todas naturais pela escolha da substituição.

Resposta

\displaystyle \ln|x|-\operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+\sqrt{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}}=C

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