Usando a segunda regra composta de \operatorname{Simpson}(h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
I = \int_{1}^{7}\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\,dx
pela segunda regra composta de Simpson com passo h=1, além de calcular o valor exato e o erro. Aqui vamos usar a fórmula composta de Simpson, que integra exatamente polinômios de até grau 3.

Passo 2

Determinar o número de subintervalos e os pontos de amostragem. Como a=1, b=7 e h=1, temos
n=\frac{b-a}{h}=\frac{7-1}{1}=6,
que é par, como exige Simpson. Os nós são
x_{0}=1,\;x_{1}=2,\;x_{2}=3,\;x_{3}=4,\;x_{4}=5,\;x_{5}=6,\;x_{6}=7.
E a função f(x)=x^{2}+4x+5 nesses pontos vale:
f(1)=10,\;f(2)=17,\;f(3)=26,\;f(4)=37,\;f(5)=50,\;f(6)=65,\;f(7)=82.

Passo 3

Aplicar a regra composta de Simpson:
I_{S}=\frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4\,f(x_{1})+2\,f(x_{2})+4\,f(x_{3})+2\,f(x_{4})+4\,f(x_{5})+f(x_{6})\Bigr].
Substituindo os valores:
I_{S}=\frac{1}{3}\bigl[10+4\cdot17+2\cdot26+4\cdot37+2\cdot50+4\cdot65+82\bigr] =\frac{1}{3}\cdot720=240.

Passo 4

Calcular o valor exato da integral encontrando a antiderivada
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+5x
e avaliando de 1 a 7:
I=F(7)-F(1) =\Bigl(\tfrac{343}{3}+98+35\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac{1}{3}+2+5\Bigr) =\frac{742}{3}-\frac{22}{3} =\frac{720}{3}=240.

Passo 5

Determinar o erro pela diferença entre exato e aproximado:
\text{Erro} = I - I_{S} = 240 - 240 = 0.
Isso mostra também que Simpson é exato para este polinômio de grau 2.

Resposta

Aproximação (Simpson composto): 240
Valor exato: 240
Erro: 0

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