Resolva a equação diferencial.
\left(e^{y}-1\right) y^{\prime}=2+\cos x

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\left(e^{y}-1\right) y^{\prime}=2+\cos x.
Informações fornecidas:
  • A função incógnita é y=y(x) e y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • O lado esquerdo contém o fator \left(e^{y}-1\right), portanto há atenção ao caso \left(e^{y}-1\right)=0 (ou seja, y=0) porque não podemos dividir por zero.
  • Não foi dada condição inicial, então procuramos a solução geral (com constante de integração).
  • O enunciado pede a solução da equação diferencial — se possível, a forma explícita y(x) ou, em geral, uma forma implícita.

Passo 2

Transformação e separação de variáveis (explicando a ideia):
  • Quando temos uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=F(x,y) e é possível escrever F(x,y)=G(x)\,H(y), dizemos que a equação é separável: podemos colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro, e então integrar.
  • Aqui escrevemos y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. A equação dada vira
\left(e^{y}-1\right)\frac{dy}{dx}=2+\cos x.
  • Supondo e^{y}-1\neq 0 (vamos comentar depois sobre esse caso), podemos dividir e separar:
\frac{dy}{dx}=\frac{2+\cos x}{e^{y}-1}.
Multiplicando ambos os lados por \left(e^{y}-1\right)dx obtemos a separação:
\left(e^{y}-1\right)dy=(2+\cos x)dx.
Isso significa que agora só temos funções de y no lado esquerdo e só funções de x no lado direito — pronto para integrar.

Passo 3

Integração das duas parcelas (passo a passo do cálculo das integrais):
  • Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int\left(e^{y}-1\right)dy=\int\left(2+\cos x\right)dx.
  • Calcule a integral do lado esquerdo:
\int\left(e^{y}-1\right)dy=\int e^{y}dy-\int 1\,dy=e^{y}-y.
Aqui usei que \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y} e \dfrac{d}{dy}y=1.
  • Calcule a integral do lado direito:
\int\left(2+\cos x\right)dx=\int 2\,dx+\int\cos x\,dx=2x+\sin x.
  • Igualando os resultados e incluindo a constante de integração C\in\mathbb{R}, obtemos a solução geral em forma implícita:
e^{y}-y=2x+\sin x + C.

Passo 4

Verificação rápida (derivando a solução implícita para checar):
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y=y(x)) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}-y\bigr)=(e^{y}-1)\frac{dy}{dx}
e
\frac{d}{dx}\bigl(2x+\sin x + C\bigr)=2+\cos x.
  • Igualando as derivadas recuperamos exatamente a equação original:
(e^{y}-1)\,y^{\prime}=2+\cos x,
portanto a relação obtida em

Passo 5

Observações sobre domínio e possibilidade de solução explícita:
  • Lembrete importante: ao separar dividimos por e^{y}-1, logo essa divisão exige e^{y}-1\neq 0, isto é, y\neq 0. De fato y\equiv 0 não é solução porque, se y=0, o lado esquerdo da equação original seria 0 enquanto o direito é 2+\cos x\neq 0 em geral. Assim soluções válidas nunca passam por y=0.
  • A solução obtida é implícita. Para obter y explicitamente a partir de
e^{y}-y=B(x),\qquad B(x)=2x+\sin x + C,
precisaríamos resolver uma equação transcendental do tipo e^{y}-y=B, que não tem solução em termos de funções elementares usuais. É possível escrever a solução explícita usando a função W de Lambert; procedendo formalmente obtemos
y(x)=-B(x)-W\!\bigl(-e^{-B(x)}\bigr),
onde W é a função inversa de z\mapsto z e^{z}. Mas isso é só um formato explícito usando uma função especial — para a maioria das provas a forma implícita e^{y}-y=2x+\sin x+C é suficiente.

Resposta

e^{y}-y=2x+\sin x+C

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