Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
Informações fornecidas:
- A função incógnita é
e significa . - O lado esquerdo contém o fator
, portanto há atenção ao caso (ou seja, ) porque não podemos dividir por zero. - Não foi dada condição inicial, então procuramos a solução geral (com constante de integração).
- O enunciado pede a solução da equação diferencial — se possível, a forma explícita
ou, em geral, uma forma implícita.
Passo 2
Transformação e separação de variáveis (explicando a ideia):
- Quando temos uma equação da forma
e é possível escrever , dizemos que a equação é separável: podemos colocar todos os termos com num lado e todos os termos com no outro, e então integrar. - Aqui escrevemos
. A equação dada vira
- Supondo
(vamos comentar depois sobre esse caso), podemos dividir e separar:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a separação:
Isso significa que agora só temos funções de
no lado esquerdo e só funções de
no lado direito — pronto para integrar.
Passo 3
Integração das duas parcelas (passo a passo do cálculo das integrais):
- Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
- Calcule a integral do lado esquerdo:
Aqui usei que
e
.
- Calcule a integral do lado direito:
- Igualando os resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a solução geral em forma implícita:
Passo 4
Verificação rápida (derivando a solução implícita para checar):
- Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando ) obtemos
e
- Igualando as derivadas recuperamos exatamente a equação original:
portanto a relação obtida em
Passo 5
Observações sobre domínio e possibilidade de solução explícita:
- Lembrete importante: ao separar dividimos por
, logo essa divisão exige , isto é, . De fato não é solução porque, se , o lado esquerdo da equação original seria enquanto o direito é em geral. Assim soluções válidas nunca passam por . - A solução obtida é implícita. Para obter
explicitamente a partir de
precisaríamos resolver uma equação transcendental do tipo
, que não tem solução em termos de funções elementares usuais. É possível escrever a solução explícita usando a função
de Lambert; procedendo formalmente obtemos
onde
é a função inversa de
. Mas isso é só um formato explícito usando uma função especial — para a maioria das provas a forma implícita
é suficiente.