Resolva a equação diferencial.
y^{\prime}+x e^{y}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
y^{\prime}+x e^{y}=0.
Informações dadas que vamos usar:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Não foi dada condição inicial; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.
  • A equação envolve y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e o termo e^{y}.

Passo 2

Vamos escolher um método. Observando a equação, ela pode ser reescrita isolando y^{\prime}:
y^{\prime}=-x e^{y}.
Aqui o lado direito é produto de uma função de x (que é -x) por uma função de y (que é e^{y}). Isso indica que podemos separar variáveis: colocar todos os termos com y em um lado e todos os termos com x no outro. Este é o método de separação de variáveis. É válido aqui porque e^{y} nunca é zero, então podemos dividir por e^{y} sem problemas.

Passo 3

Faço a separação das variáveis passo a passo. Partindo de
\frac{dy}{dx}=-x e^{y},
divido ambos os lados por e^{y} e multiplico por dx, obtendo
e^{-y}\,dy = -x\,dx.
Explanação didática: \,dy/dx significa que dy está “associado” a dx. Ao separar, queremos uma integral só em y e outra só em x. Como e^{y}>0 para todo y, dividir por e^{y} é seguro.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Escrevo as integrais:
\int e^{-y}\,dy = \int -x\,dx.
Vou calcular cada integral com calma.

Passo 5

Integral à esquerda: \int e^{-y}\,dy.
  • Uma forma simples é fazer a substituição u=-y, então du=-dy e dy=-du. Assim
\int e^{-y}\,dy = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}\,du = -e^{u}+C = -e^{-y}+C.
Portanto a primitiva de e^{-y} em relação a y é -e^{-y} (mais uma constante).

Passo 6

Integral à direita: \int -x\,dx.
  • Aqui integramos polinomialmente: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}, então
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 7

Igualando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma única constante de integração), temos
- e^{-y} = -\frac{x^{2}}{2} + C_{1}.
Multiplico por -1 e troco C_{1} por outra constante C (pois uma constante arbitrária negativa ainda é uma constante arbitrária):
e^{-y} = \frac{x^{2}}{2} + C.
Observação sobre constantes: ao integrar dos dois lados surgem duas constantes, mas podemos combiná-las numa só constante arbitrária.

Passo 8

Isolo y. Como e^{-y}>0, o lado direito também precisa ser positivo; depois falo sobre domínio. Tomo logaritmo natural:
- y = \ln\!\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).
Logo
y = -\ln\!\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).
Aqui C é a constante arbitrária de integração. Reforçando o domínio: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja \dfrac{x^{2}}{2}+C>0; isso restringe, para cada valor de C, os x onde a solução é válida.

Passo 9

Cheque rápido de consistência (bem prático para a prova): podemos diferenciar a solução encontrada e verificar que satisfaz a equação original. Se fizermos \dfrac{dy}{dx} a partir de y=-\ln\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right) obtemos
y' = -\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}\cdot x,
pois a derivada de \dfrac{x^{2}}{2}+C é x. Reescrevendo,
y' = -\frac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}.
Por outro lado,
x e^{y} = x \exp\!\left(-\ln\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)\right) = x\cdot\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}+C} = \frac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}.
Portanto y' + x e^{y} = -\dfrac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C} + \dfrac{x}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}=0, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y=-\ln\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right), com \dfrac{x^{2}}{2}+C>0 e C constante de integração.

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