Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- A incógnita é a função
. - Não foi dada condição inicial; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.
- A equação envolve
e o termo .
Passo 2
Vamos escolher um método. Observando a equação, ela pode ser reescrita isolando
:
Aqui o lado direito é produto de uma função de
(que é
) por uma função de
(que é
). Isso indica que podemos separar variáveis: colocar todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro. Este é o método de separação de variáveis. É válido aqui porque
nunca é zero, então podemos dividir por
sem problemas.
Passo 3
Faço a separação das variáveis passo a passo. Partindo de
divido ambos os lados por
e multiplico por
, obtendo
Explanação didática:
significa que
está “associado” a
. Ao separar, queremos uma integral só em
e outra só em
. Como
para todo
, dividir por
é seguro.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Escrevo as integrais:
Vou calcular cada integral com calma.
Passo 5
Integral à esquerda:
.
- Uma forma simples é fazer a substituição
, então e . Assim
Portanto a primitiva de
em relação a
é
(mais uma constante).
Passo 6
Integral à direita:
.
- Aqui integramos polinomialmente:
, então
Passo 7
Igualando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma única constante de integração), temos
Multiplico por
e troco
por outra constante
(pois uma constante arbitrária negativa ainda é uma constante arbitrária):
Observação sobre constantes: ao integrar dos dois lados surgem duas constantes, mas podemos combiná-las numa só constante arbitrária.
Passo 8
Isolo
. Como
, o lado direito também precisa ser positivo; depois falo sobre domínio. Tomo logaritmo natural:
Logo
Aqui
é a constante arbitrária de integração. Reforçando o domínio: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja
; isso restringe, para cada valor de
, os
onde a solução é válida.
Passo 9
Cheque rápido de consistência (bem prático para a prova): podemos diferenciar a solução encontrada e verificar que satisfaz a equação original. Se fizermos
a partir de
obtemos
pois a derivada de
é
. Reescrevendo,
Por outro lado,
Portanto
, confirmando que a solução está correta.