Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(e^x+yr),dx + l(2 + x + e^yr),dy = 0,
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: primeiro a gente verifica se partial M/partial y = partial N/partial x, e se for exata acha-se uma função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = e^x + y, N(x,y) = 2 + x + e^y
Calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1,
logo partial M/partial y = partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M = e^x + y
Integrando em x:
Phi(x,y) = integrall(e^x+yr),dx = e^x + x,y + h(y)
Agora impomos
partial Phipartial y = x + h'(y) overset!= N = 2 + x + e^y,
de onde h'(y)=2+e^y e
h(y)=2y + e^y
Logo a função potencial é
Phi(x,y) = e^x + x,y + 2y + e^y,
e a solução implícita geral é
e^x + x,y + 2y + e^y = C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0,y=1:
e^0 + 0cdot1 + 2cdot1 + e^1 = 1 + 0 + 2 + e = 3 + e,
logo C = 3 + e. A solução particular fica
e^x + x,y + 2y + e^y = 3 + e

Resposta

boxede^x + x,y + 2y + e^y = 3 + e,
que satisfaz y(0)=1.

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