Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: primeiro a gente verifica se
, e se for exata acha-se uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integrando em
:
Agora impomos
de onde
e
Logo a função potencial é
e a solução implícita geral é
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Em
:
logo
. A solução particular fica
Resposta
que satisfaz
.