Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)^2,dx+l(2xy+x^2-1r),dy=0
com a condição inicial y(1)=1. O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se
M(x,y)=(x+y)^2, N(x,y)=2xy+x^2-1
são tais que partial M/partial y=partial N/partial x. Se for exata, existe Phi(x,y) tal que dPhi=0, e depois usamos y(1)=1 para achar a constante.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(x+y)^2 =2(x+y),
partial Npartial x =partialpartial xl(2xy+x^2-1r) =2y+2x
Como 2(x+y)=2x+2y, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=(x+y)^2
Integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral (x+y)^2,dx =13(x+y)^3+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Como também deve valer
partial Phipartial y =(x+y)^2+h'(y) ;=;N(x,y)=2xy+x^2-1,
temos
(x+y)^2 + h'(y) = x^2+2xy-1 ;Longrightarrow; h'(y) = -1 - y^2
Integrando em y:
h(y)=integral(-1-y^2),dy =-y-13y^3

Passo 5

Assim a função potencial é
Phi(x,y) =13(x+y)^3 - y - 13y^3
A solução geral implícita é
Phi(x,y)=C,
ou, expandindo,
13x^3 + x^2y + xy^2 - y = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial x=1, y=1:
13cdot1^3 + 1^2cdot1 + 1cdot1^2 - 1 =13+1+1-1 =43,
logo C=tfrac43.

Passo 7

A solução que satisfaz y(1)=1 fica
13x^3 + x^2y + xy^2 - y = 43

Resposta

13x^3 + x^2y + xy^2 - y = 43

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