Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, y(1)=1
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, y(1)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se
são tais que
. Se for exata, existe
tal que
, e depois usamos
para achar a constante.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Como também deve valer
temos
Integrando em
:
Passo 5
Assim a função potencial é
A solução geral implícita é
ou, expandindo,
Passo 6
Aplicando a condição inicial
,
:
logo
.
Passo 7
A solução que satisfaz
fica