Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
A equação dada é
. O tema aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver pelo método dos coeficientes a determinar, vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular que satisfaça a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo-a temos as raízes
Passo 4
Isso nos dá a solução geral da homogênea:
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. O termo independente no lado direito é constante (3). Se a gente chutasse
, veríamos que
e
levam a
. Além disso, como zero é raiz da característica, multiplicamos nosso palpite por
. Assim, escolhemos
Passo 6
Calculamos derivadas:
Passo 7
Substituindo na equação original:
Passo 8
Portanto,
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma das duas partes: