Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

A equação dada é y''+y'=3. O tema aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver pelo método dos coeficientes a determinar, vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular que satisfaça a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y''+y'=0. Montamos a equação característica associada:
r^2 + r = 0

Passo 3

Resolvendo-a temos as raízes
r(r+1)=0 r1=0, r2=-1

Passo 4

Isso nos dá a solução geral da homogênea:
yh = C1 e^0,x + C2 e^-x = C1 + C2 e^-x

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular yp para a equação completa. O termo independente no lado direito é constante (3). Se a gente chutasse yp=B, veríamos que yp'=0 e yp''=0 levam a 0+0neq3. Além disso, como zero é raiz da característica, multiplicamos nosso palpite por x. Assim, escolhemos
yp = A x

Passo 6

Calculamos derivadas:
yp' = A, yp'' = 0

Passo 7

Substituindo na equação original:
0 + A = 3 implies A = 3

Passo 8

Portanto,
yp = 3x

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma das duas partes:
y(x) = yh + yp = C1 + C2 e^-x + 3x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-x + 3x

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