Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + y = sec⁡x
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo que vamos usar inclui: solução geral da equação homogênea associada e, depois, aplicar variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y'' + y = 0
As soluções fundamentais são
y₁(x) = cos⁡x  e  y₂(x) = sin⁡x
logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C₁ cos⁡x + C₂ sin⁡x.

Passo 3

Para usar variação de parâmetros precisamos do Wronskiano de y₁,y₂ e das fórmulas
W = y₁ y₂' - y₁' y₂,
u₁' = - y₂(x)·g(x)/W,
u₂' =   y₁(x)·g(x)/W,
onde g(x) = sec⁡x. Calculamos
W = cos⁡x·cos⁡x -(-sin⁡x)·sin⁡x = cos²⁡x + sin²⁡x = 1.

Passo 4

Agora obtemos u₁’ e u₂’:
u₁' = -sin⁡x · sec⁡x = - tan⁡x,
u₂' =  cos⁡x · sec⁡x = 1.
Integramos ambos:
u₁(x) = ∫(- tan⁡x) dx = ln|cos⁡x| + K₁,
u₂(x) = ∫1 dx = x + K₂.
Podemos absorver as constantes K₁,K₂ na solução homogênea.

Passo 5

Formamos a solução particular pela combinação
y_p(x) = u₁(x)·y₁(x) + u₂(x)·y₂(x)
Substituindo u₁,u₂,y₁,y₂:
y_p(x) = ln|cos⁡x|·cos⁡x + x·sin⁡x.

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C₁ cos⁡x + C₂ sin⁡x + cos⁡x·ln|cos⁡x| + x·sin⁡x

Resposta

y(x)=C1,cos x + C2,sin x + cos x,lnlvertcos xrvert + x,sin x

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