Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + y = secx
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo que vamos usar inclui: solução geral da equação homogênea associada e, depois, aplicar variação de parâmetros para encontrar uma particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada:
y'' + y = 0
As soluções fundamentais são
y₁(x) = cosx e y₂(x) = sinx
logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C₁ cosx + C₂ sinx.
Passo 3
Para usar variação de parâmetros precisamos do Wronskiano de y₁,y₂ e das fórmulas
W = y₁ y₂' - y₁' y₂,
u₁' = - y₂(x)·g(x)/W,
u₂' = y₁(x)·g(x)/W,
onde g(x) = secx. Calculamos
W = cosx·cosx -(-sinx)·sinx = cos²x + sin²x = 1.
Passo 4
Agora obtemos u₁’ e u₂’:
u₁' = -sinx · secx = - tanx,
u₂' = cosx · secx = 1.
Integramos ambos:
u₁(x) = ∫(- tanx) dx = ln|cosx| + K₁,
u₂(x) = ∫1 dx = x + K₂.
Podemos absorver as constantes K₁,K₂ na solução homogênea.
Passo 5
Formamos a solução particular pela combinação
y_p(x) = u₁(x)·y₁(x) + u₂(x)·y₂(x)
Substituindo u₁,u₂,y₁,y₂:
y_p(x) = ln|cosx|·cosx + x·sinx.
Passo 6
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C₁ cosx + C₂ sinx + cosx·ln|cosx| + x·sinx