Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' + y = sin x pelo método da variação de parâmetros, que é indicado para EDOs lineares não homogêneas de 2ª ordem.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções independentes y1 = cos x e y2 = sin x. Calculamos o Wronskiano:
W = y1 & y2y1' & y2' = cos x & sin x-sin x & cos x = 1
O termo não homogêneo é f(x)=sin x.

Passo 4

As fórmulas de variação dos parâmetros dizem:
u1' = -y2 f(x)W = -sin xcdotsin x = -sin^2 x,
u2' = y1 f(x)W = cos xcdotsin x = sin xcos x
Integramos para obter nu1 e nu2:
nu1 = -integral sin^2 x,dx = -l(x2 - sin 2x4r),
nu2 = integral sin xcos x,dx = -cos 2x4

Passo 5

A solução particular é dada por
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = -l(x2 - sin 2x4r)cos x - cos 2x4sin x
Usando as identidades sin 2x = 2sin xcos x e cos 2x = cos^2 x - sin^2 x, simplificamos e obtemos
yp(x) = -xcos x2 + sin x4

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1cos x + C2sin x - xcos x2 + sin x4

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - xcos x2 + sin x4

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