Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
pelo método da variação de parâmetros, que é indicado para EDOs lineares não homogêneas de 2ª ordem.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções independentes
e
. Calculamos o Wronskiano:
O termo não homogêneo é
f(x)=sin x .
Passo 4
As fórmulas de variação dos parâmetros dizem:
Integramos para obter
nu1 e
nu2 :
Passo 5
A solução particular é dada por
Usando as identidades
sin 2x = 2sin xcos x e
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x , simplificamos e obtemos
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma de
yh com
yp :