Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo envolve equações lineares de coeficientes constantes e variação de parâmetros, e precisaremos encontrar a solução geral composta pela solução complementar (homogênea) e por uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada
O polinômio característico é , cujas raízes são . Logo, a solução complementar é
Passo 3
No método da variação dos parâmetros, propomos uma solução particular da forma
e impomos as condições auxiliares para simplificar o sistema:
$$
$$
Passo 4
O Wronskiano das soluções fundamentais e é
Invertendo o sistema obtemos
$$
u1'u2' =cos x & -sin xsin x & cos x 0cos^2 x =-sin x,cos^2 xcos x,cos^2 x
=
=.
$$
Passo 5
Agora integramos cada uma das derivadas de u1 e u2.
Para u1'=-sin x,cos^2 x, usamos cos^2 x=(1+cos2x)/2 e a fórmula produto-para-soma