Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''+y=cos^2 x
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo envolve equações lineares de coeficientes constantes e variação de parâmetros, e precisaremos encontrar a solução geral composta pela solução complementar (homogênea) e por uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução complementar yh resolvendo a equação homogênea associada
y''+y=0
O polinômio característico é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo, a solução complementar é
yh=C1cos x+C2sin x

Passo 3

No método da variação dos parâmetros, propomos uma solução particular da forma
yp=u1(x)cos x+u2(x)sin x,
e impomos as condições auxiliares para simplificar o sistema:
$$
u1'(x)cos x+u2'(x)sin x=0, -u1'(x)sin x+u2'(x)cos x=cos^2 x
$$

Passo 4

O Wronskiano das soluções fundamentais cos x e sin x é
W=cos x & sin x -sin x & cos x=cos^2x+sin^2x=1
Invertendo o sistema obtemos
$$
u1'u2' =cos x & -sin xsin x & cos x 0cos^2 x =-sin x,cos^2 xcos x,cos^2 x
=

= .
$$

Passo 5

Agora integramos cada uma das derivadas de u1 e u2.
Para u1'=-sin x,cos^2 x, usamos cos^2 x=(1+cos2x)/2 e a fórmula produto-para-soma
u1=-integralsin x,1+cos2x2,dx =-12integralsin x,dx-12integralsin xcos2x,dx
Calculando as integrais:
integralsin x,dx=-cos x,
integralsin xcos2x,dx=12integral(sin3x-sin x),dx=-cos3x6+cos x2
Substituindo e desprezando constantes que entram em yh, fica
u1=cos x2+cos3x12-cos x4=cos3x12+cos x4

Passo 6

Para u2'=cos x,cos^2 x, análogo:
u2=integralcos x,1+cos2x2,dx =12integralcos x,dx+12integralcos xcos2x,dx
Temos
integralcos x,dx=sin x,
integralcos xcos2x,dx=12integral(cos3x+cos x),dx=sin3x6+sin x2
Logo
u2=sin x2+sin3x12+sin x4=sin3x12+3sin x4

Passo 7

A solução particular é
$$y_p=u_1\cos x+u_2\sin x.
yp=u1cos x+u2sin x é
y_p=\frac12-\frac{\cos2x}6.
$$

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
$$y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac12-\frac{\cos2x}6.
$$

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+\tfrac12-\tfrac{\cos2x}{6}

Exercícios relacionados