Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Temos a EDO linear de 2ª ordem y'' - 9y = 9x e^-3x. O conteúdo é resolução de EDO não-homogênea por variação de parâmetros: precisamos achar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir uma solução particular e, enfim, escrever a solução geral.

Passo 2

Resolvendo a homogênea yh'' - 9yh = 0, a equação característica é r^2 - 9 = 0, cujas raízes são r = 3 e r = -3. Logo, as soluções fundamentais são y1(x) = e^3x e y2(x) = e^-3x, e a solução geral da homogênea é yh = C1 e^3x + C2 e^-3x.

Passo 3

Para variação de parâmetros assumimos yp = u1(x)e^3x + u2(x)e^-3x e escrevemos f(x) = 9x e^-3x, de modo que y'' - 9y = f(x). Calculamos o wronskiano das soluções fundamentais:
W = e^3x & e^-3x3e^3x & -3e^-3x = -6

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W

Passo 5

Substituindo f(x)=9x e^-3x, y1=e^3x, y2=e^-3x e W=-6 obtemos
u1' = -9x e^-3xcdot e^-3x-6 = 9x e^-6x6 = 32x e^-6x,
u2' = 9x e^-3xcdot e^3x-6 = -9x6 = -32x

Passo 6

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1(x) = integral 32x e^-6x,dx = -l(x4 + 124r)e^-6x,
u2(x) = integral -32x,dx = -34x^2

Passo 7

Finalmente montamos a solução particular
yp = u1 e^3x + u2 e^-3x = -l(x4 + 124r)e^-3x - 34x^2 e^-3x = -e^-3xl(34x^2 + 14x + 124r)

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x - e^-3xl(tfrac34x^2 + tfrac14x + tfrac124r), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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