Usando o teste de comparação de séries, estudar a convergência da série sumn=1 (cos n)^62^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty (cos n)^62^n usando o teste de comparação. O conteúdo envolve séries numéricas, em particular o teste de comparação e o conhecimento sobre séries geométricas.

Passo 2

O teste de comparação diz que se temos duas séries de termos não negativos an e bn tais que 0 <= an <= bn para todo n e sum bn converge, então sum an também converge. Aqui, note que para todo n vale |cos n| <= 1, logo

Passo 3

Passo 4

A série sumn=1^infty tfrac12^n é uma série geométrica de razão tfrac12<1, portanto converge. Assim, pelo teste de comparação, a série sumn=1^infty tfrac(cos n)^62^n também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a série geométrica sum 1/2^n, logo converge absolutamente.

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