S-3.23
Mostre que m é livre de quadrados se, e somente se, a decomposição de m em fatores primos é da forma pm p1 cdots pr, onde p1, ldots, pr são primos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro m é livre de quadrados (isto é, não existe primo p tal que p^2mid m) se, e somente se, sua fatoração prima é da forma
m = pm p1p2cdots pr,
onde p1,dots,pr são primos distintos.
O conteúdo envolvido é a Teoria da Divisibilidade e o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante fatoração única em primos.

Passo 2

(“ Longrightarrow”) Suponha que
m = pm p1p2cdots pr
com pi distintos. Então na escrita de m cada primo aparece com expoente exatamente 1. Logo não há nenhum primo p com expoente >=2, o que significa que não existe p tal que p^2mid m. Portanto m é livre de quadrados.

Passo 3

(“ Long<=ftarrow”) Agora suponha que m seja livre de quadrados. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos
m = pm prodi=1^k qi^alphai,
onde q1,dots,qk são primos distintos e alphai>=0. Se algum alphai>=2, então qi^2mid m, contradizendo a hipótese de ser livre de quadrados. Logo todos os alphai satisfazem alphai<=1.
Isto implica que cada alphai é ou 0 ou 1. Eliminando os fatores com alphai=0, obtemos
m = pm qi1,qi2cdots qir,
com primos distintos qij. Isso mostra a forma desejada.

Resposta

Mostramos as duas implicações, e então concluímos que m é livre de quadrados se, e somente se, sua fatoração prima é da forma
m = pm p1p2cdots pr,
com p1,dots,pr primos distintos.

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