S-3.23
Mostre que
é livre de quadrados se, e somente se, a decomposição de
em fatores primos é da forma
, onde
são primos distintos.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro
é livre de quadrados (isto é, não existe primo
tal que
) se, e somente se, sua fatoração prima é da forma
onde
são primos distintos.
O conteúdo envolvido é a Teoria da Divisibilidade e o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante fatoração única em primos.
O conteúdo envolvido é a Teoria da Divisibilidade e o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante fatoração única em primos.
Passo 2
(“
”) Suponha que
com
distintos. Então na escrita de
cada primo aparece com expoente exatamente
. Logo não há nenhum primo
com expoente
, o que significa que não existe
tal que
. Portanto
é livre de quadrados.
Passo 3
(“
”) Agora suponha que
seja livre de quadrados. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos
onde
são primos distintos e
. Se algum
, então
, contradizendo a hipótese de ser livre de quadrados. Logo todos os
satisfazem
.
Isto implica que cada é ou
ou
. Eliminando os fatores com
, obtemos
Isto implica que cada
com primos distintos
. Isso mostra a forma desejada.
Resposta
Mostramos as duas implicações, e então concluímos que
é livre de quadrados se, e somente se, sua fatoração prima é da forma
com
primos distintos.