S-3.23
Mostre que
é livre de cubos se, e somente se, a decomposição de
em fatores primos é da forma
, onde
são primos distintos e
, para todo
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro
é livre de cubos (isto é, não existe inteiro
tal que
divida
) se, e somente se, na fatoração prima de
todos os expoentes satisfazem
.
Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante a unicidade dessa fatoração, e a definição de “livre de cubos”.
Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante a unicidade dessa fatoração, e a definição de “livre de cubos”.
Passo 2
Suponha que na fatoração
tenhamos
para todo
. Se existisse algum inteiro
com
, na decomposição de
apareceria algum primo
com potência pelo menos 1, e então
dividiria
e, por consequência, dividiria
. Mas isso contraria
. Logo, não existe tal
e
é de fato livre de cubos.
Passo 3
Agora suponha que
seja livre de cubos e considere sua fatoração
Se algum
, então
, o que significa que o inteiro
satisfaz
. Isso contraria a hipótese de
ser livre de cubos. Portanto, não pode haver nenhum
, ou seja, todos os
.
Resposta
Fica provado que
é livre de cubos se, e somente se, em sua fatoração prima
todos os expoentes satisfazem
.