S-3.23
Mostre que m é livre de cubos se, e somente se, a decomposição de m em fatores primos é da forma pm p1^n1 cdots pr^nr, onde p1, ldots, pr são primos distintos e ni <= 2, para todo i=1, ldots, r.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro m é livre de cubos (isto é, não existe inteiro a>1 tal que a^3 divida m) se, e somente se, na fatoração prima de m
m = pm p1^n1 cdots pr^nr
todos os expoentes satisfazem ni<=2.
Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante a unicidade dessa fatoração, e a definição de “livre de cubos”.

Passo 2

Suponha que na fatoração
m = pm p1^n1 cdots pr^nr
tenhamos ni<=2 para todo i. Se existisse algum inteiro a>1 com a^3mid m, na decomposição de a apareceria algum primo pi com potência pelo menos 1, e então pi^3 dividiria a^3 e, por consequência, dividiria m. Mas isso contraria ni<=2. Logo, não existe tal a e m é de fato livre de cubos.

Passo 3

Agora suponha que m seja livre de cubos e considere sua fatoração
m = pm p1^n1 cdots pr^nr
Se algum ni>=3, então pi^3mid m, o que significa que o inteiro a=pi satisfaz a^3mid m. Isso contraria a hipótese de m ser livre de cubos. Portanto, não pode haver nenhum ni>=3, ou seja, todos os ni<=2.

Resposta

Fica provado que m é livre de cubos se, e somente se, em sua fatoração prima
m=pm p1^n1cdots pr^nr
todos os expoentes satisfazem ni<=2.

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