Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial de primeira ordem linear, dado por
x,y'+(2+3x)y=xe^-3x
Vamos usar o método de equação linear de 1ª ordem e fator integrante.

Passo 2

Colocando na forma padrão y'+P(x)y=Q(x): dividimos ambos os lados por x (supondo xneq0) e obtemos
y'+l(2x+3r)y=e^-3x
Aqui P(x)=2x+3 e Q(x)=e^-3x.

Passo 3

Calculando o fator integrante mu(x):
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(2/x+3),dx=e^2ln|x|+3x=x^2e^3x
O fator integrante serve para transformar o LHS em derivada de produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
x^2e^3xy'+(2/x+3)x^2e^3xy= x^2e^3xe^-3x=x^2
O lado esquerdo é
ddxl(x^2e^3xyr)=x^2
Agora integramos ambos os lados:
x^2e^3xy=integral x^2,dx=x^33+C

Passo 5

Isolando y(x), dividimos por x^2e^3x:
y(x)=x^33+Cx^2e^3x=x3e^-3x+Cx^-2e^-3x

Resposta

y(x)=x3e^-3x+Cx^-2e^-3x

Exercícios relacionados