Resolver as integrais definidas:
\int_{\pi / 6}^{\pi / 4} \sin (t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/4} \sin(t)\,dt
que é clássica de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos identificar a antiderivada de \sin(t).

Passo 2

Sabemos que uma antiderivada de \sin(t) é
-\cos(t),
pois \tfrac{d}{dt}\bigl[-\cos(t)\bigr]=\sin(t).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{\pi/6}^{\pi/4} \sin(t)\,dt = \bigl[-\cos(t)\bigr]_{t=\pi/6}^{t=\pi/4} = -\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\;-\;\bigl(-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr).

Passo 4

Como \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2} e \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt3}{2}, segue que
-\frac{\sqrt2}{2} -\bigl(-\frac{\sqrt3}{2}\bigr) = -\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3 - \sqrt2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt3 - \sqrt2}{2}

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