Verifique que as funçôes são LI no intervalo dado:
(c) x, x \ln x, x^{2} \ln x ;(0,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f_{1}(x)=x,\quad f_{2}(x)=x\ln x,\quad f_{3}(x)=x^{2}\ln x
são linearmente independentes em (0,+\infty).
O conteúdo principal aqui é verificar que o Wronskiano
W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)
não é identicamente zero nesse intervalo, pois isso implica LI.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de cada função:
Para f_{1}(x)=x:
f_{1}'(x)=1,\quad f_{1}''(x)=0.
Para f_{2}(x)=x\ln x:
f_{2}'(x)=\ln x +1,\quad f_{2}''(x)=\frac{1}{x}.
Para f_{3}(x)=x^{2}\ln x:
f_{3}'(x)=2x\ln x +x,\quad f_{3}''(x)=2\ln x+3.

Passo 3

Montamos o Wronskiano em forma de determinante:
W(x)= \begin{vmatrix} x & x\ln x & x^{2}\ln x\\[6pt] 1 & \ln x +1 & 2x\ln x +x\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{x} & 2\ln x+3 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
W(x) = x\begin{vmatrix}\ln x +1 & 2x\ln x +x\\[3pt]\tfrac{1}{x} & 2\ln x+3\end{vmatrix} - x\ln x\begin{vmatrix}1 & 2x\ln x +x\\[3pt]0 & 2\ln x+3\end{vmatrix} + x^{2}\ln x\begin{vmatrix}1 & \ln x +1\\[3pt]0 & \tfrac{1}{x}\end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}\ln x +1 & 2x\ln x +x\\[3pt]\tfrac{1}{x} & 2\ln x+3\end{vmatrix} =(\ln x+1)(2\ln x+3)-\frac{1}{x}(2x\ln x+x) =2\ln^{2}x+3\ln x+2\ln x+3-2\ln x-1 =2\ln^{2}x+3\ln x+2,
\begin{vmatrix}1 & 2x\ln x +x\\[3pt]0 & 2\ln x+3\end{vmatrix} =2\ln x+3, \qquad \begin{vmatrix}1 & \ln x +1\\[3pt]0 & \tfrac{1}{x}\end{vmatrix} =\frac{1}{x}.
Substituindo em W(x):
W(x) = x\bigl(2\ln^{2}x+3\ln x+2\bigr) - x\ln x\,(2\ln x+3) + x^{2}\ln x\cdot\frac{1}{x}.
Agrupando termos resulta
W(x)=x(2\ln^{2}x+3\ln x+2)-x(2\ln^{2}x+3\ln x)+x\ln x =x\ln x+2x =x\bigl(\ln x+2\bigr).]

Passo 5

O Wronskiano ficou
W(x)=x\bigl(\ln x+2\bigr).
Esse não é o zero identicamente em (0,\infty) (só zera em x=e^{-2}, ponto isolado). Como W não é identicamente nulo, concluímos que f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes em (0,+\infty).

Resposta

As funções são linearmente independentes em (0,+\infty) pois o Wronskiano \displaystyle W(x)=x(\ln x+2)
não é identicamente zero.

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