Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com impulso:
com condições iniciais
e
.
O que se pede é encontrar para
(a solução completa que satisfaça a EDO e as condições iniciais, incluindo o efeito do impulso em
).
O que se pede é encontrar
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios em
multiplicando a transformada da função, e trata bem sinais como a
(impulso) e as condições iniciais — então reduz a EDO a uma equação algébrica em
. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada. Denotarei
.
Passo 3
Transformo cada termo da EDO. Usarei duas propriedades importantes (vou explicar cada uma):
- Transformada da segunda derivada: para uma função
com transformada ,
Breve explicação: isso vem de aplicar a definição da transformada e integrar por partes duas vezes; as condições iniciais aparecem naturalmente nas integrais por partes.
2) Transformada de um termo multiplicativo simples:
2) Transformada de um termo multiplicativo simples:
- Transformada do impulso deslocado: para
,
No nosso caso, o termo do lado direito é
, então sua transformada é
.
Agora aplico a transformada à EDO:
Substituindo as fórmulas:
Passo 4
Agora uso as condições iniciais
e
. Substituindo:
Agrupo
:
Isolo
:
Esta expressão está em duas partes: uma parte livre do atraso (primeiro termo) e uma parte multiplicada por
(segundo termo), que corresponderá a um sinal deslocado no tempo.
Passo 5
Vou inverter a transformada termo a termo.
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Conhecemos a transformada de
:
Aqui
, logo
. Multiplicando por
obtemos que a inversa do primeiro termo é
Passo 6
Segundo termo:
Uso a propriedade de deslocamento no tempo (fórmula da transformação inversa com fator exponencial):
Se , então
Se
onde
é a função degrau de Heaviside (igual a
para
e
para
). Aqui,
. Primeiro encontro
, a inversa de
sem o fator exponencial:
porque
e com
obtemos
. Então
Aplicando o deslocamento
temos
Passo 7
Agora somo as duas inversas (porque a transformada é linear). Assim a solução em termos do degrau é
Posso simplificar a expressão trigonométrica usando que
tem período
:
. Portanto uma forma mais curta é
É útil também ver a forma em partes (peça por peça), que deixa explícito o comportamento antes e depois do impulso:
para temos
, então
para
e para
temos
, então
Como verificação rápida: o impulso em
gera um salto na derivada de tamanho
(porque integrar a EDO em torno do ponto do impulso dá
), e a solução encontrada satisfaz esse salto (cheque rápido:
). Então está consistente.
Resposta
]