Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y=8 \delta(t-2 \pi), \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com impulso:
y'' + 4y = 8\,\delta(t-2\pi),
com condições iniciais \;y(0)=3\; e \;y'(0)=0\;.
O que se pede é encontrar y(t) para t\ge 0 (a solução completa que satisfaça a EDO e as condições iniciais, incluindo o efeito do impulso em t=2\pi).

Passo 2

Vamos usar a Transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios em s multiplicando a transformada da função, e trata bem sinais como a \delta (impulso) e as condições iniciais — então reduz a EDO a uma equação algébrica em s. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada. Denotarei \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).

Passo 3

Transformo cada termo da EDO. Usarei duas propriedades importantes (vou explicar cada uma):
  1. Transformada da segunda derivada: para uma função y(t) com transformada Y(s),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Breve explicação: isso vem de aplicar a definição da transformada e integrar por partes duas vezes; as condições iniciais aparecem naturalmente nas integrais por partes.
2) Transformada de um termo multiplicativo simples:
\mathcal{L}\{4y(t)\}(s)=4Y(s).
  1. Transformada do impulso deslocado: para a>0,
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-a s}.
No nosso caso, o termo do lado direito é 8\delta(t-2\pi), então sua transformada é 8e^{-2\pi s}.
Agora aplico a transformada à EDO:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{8\delta(t-2\pi)\}.
Substituindo as fórmulas:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+4Y(s)=8e^{-2\pi s}.

Passo 4

Agora uso as condições iniciais \;y(0)=3 e \;y'(0)=0. Substituindo:
s^{2}Y(s)-s\cdot 3 - 0 +4Y(s)=8e^{-2\pi s}.
Agrupo Y(s):
Y(s)\big(s^{2}+4\big)-3s=8e^{-2\pi s}.
Isolo Y(s):
Y(s)=\frac{3s}{s^{2}+4}+\frac{8e^{-2\pi s}}{s^{2}+4}.
Esta expressão está em duas partes: uma parte livre do atraso (primeiro termo) e uma parte multiplicada por e^{-2\pi s} (segundo termo), que corresponderá a um sinal deslocado no tempo.

Passo 5

Vou inverter a transformada termo a termo.
Primeiro termo:
\frac{3s}{s^{2}+4}.
Conhecemos a transformada de \cos(\omega t):
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Aqui \omega=2, logo \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+4}. Multiplicando por 3 obtemos que a inversa do primeiro termo é
3\cos(2t).

Passo 6

Segundo termo:
\frac{8e^{-2\pi s}}{s^{2}+4}.
Uso a propriedade de deslocamento no tempo (fórmula da transformação inversa com fator exponencial):
Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (igual a 0 para t<a e 1 para t\ge a). Aqui, F(s)=\dfrac{8}{s^{2}+4}. Primeiro encontro f(t), a inversa de F(s) sem o fator exponencial:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t),
porque \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} e com \omega=2 obtemos \dfrac{2}{s^{2}+4}. Então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{8}{s^{2}+4}\right\}=8\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=4\sin(2t).
Aplicando o deslocamento e^{-2\pi s} temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{8e^{-2\pi s}}{s^{2}+4}\right\}=4\sin\big(2(t-2\pi)\big)\,u(t-2\pi).

Passo 7

Agora somo as duas inversas (porque a transformada é linear). Assim a solução em termos do degrau é
y(t)=3\cos(2t)+4\sin\big(2(t-2\pi)\big)\,u(t-2\pi).
Posso simplificar a expressão trigonométrica usando que \sin tem período 2\pi: \sin(2(t-2\pi))=\sin(2t-4\pi)=\sin(2t). Portanto uma forma mais curta é
y(t)=3\cos(2t)+4\,u(t-2\pi)\sin(2t).
É útil também ver a forma em partes (peça por peça), que deixa explícito o comportamento antes e depois do impulso:
para 0\le t<2\pi temos u(t-2\pi)=0, então
y(t)=3\cos(2t),\quad 0\le t<2\pi,
e para t\ge 2\pi temos u(t-2\pi)=1, então
y(t)=3\cos(2t)+4\sin(2t),\quad t\ge 2\pi.
Como verificação rápida: o impulso em t=2\pi gera um salto na derivada de tamanho 8 (porque integrar a EDO em torno do ponto do impulso dá y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-)=8), e a solução encontrada satisfaz esse salto (cheque rápido: y'(2\pi^-)=0,\;y'(2\pi^+)=8). Então está consistente.

Resposta

y(t)=3\cos(2t)+4\sin\big(2(t-2\pi)\big)\,u(t-2\pi)\) ou, equivalentemente, \(y(t)=\begin{cases} 3\cos(2t), & 0\le t<2\pi,\\[4pt] 3\cos(2t)+4\sin(2t), & t\ge 2\pi. \end{cases}]

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