Use o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular das seguintes equações:
Passo 1
Enunciado e dados que temos (resumindo para ficar claro o que pediram):
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
e o pedido é: usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
dessa equação.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o lado direito é e o domínio é
(isso garante que
está definida). A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o lado direito é
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (porque a variação de parâmetros usa as soluções homogêneas). A equação homogênea é
Formamos a equação característica:
Resolvendo,
ou seja, raiz dupla
. Portanto uma base de soluções fundamentais é
Essas duas funções são linearmente independentes (uma pode verificar o Wronskiano), então podemos usá-las no método.
Passo 3
Ideia do método da variação de parâmetros (explicando passo a passo, como usar na prova): procuramos uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar. Para simplificar as contas impomos a condição auxiliar padrão
isso evita termos com
e
ao derivar duas vezes. A segunda equação vem de substituir
na equação original; ela fica
onde
é o termo do lado direito dividido pelo coeficiente de
(aqui é
), portanto
Resumo do sistema para
e
:
Passo 4
Calcular as derivadas das soluções fundamentais e montar explicitamente o sistema. Temos
Substituindo nas equações do sistema:
Dividindo ambas as equações por
(é sempre não nulo), obtemos o sistema simples
Passo 5
Resolver o sistema para
e
. Subtraindo a primeira equação da segunda elimina
:
que dá
Então
Passo 6
Integrar para obter
e
. Começando por
:
Fazemos a primitiva usando integração por partes: tome
e
, então
e
. Assim
Em variação de parâmetros podemos desprezar a constante de integração (qualquer constante multiplicada por
seria absorvida na solução homogênea), então escolhemos
Agora
:
Calcule
por partes: tome
,
então
,
. Assim
Novamente desprezamos a constante e, portanto,
Passo 7
Formar a solução particular
e simplificar. Substituindo:
Desenvolvendo o segundo termo:
Somando com o primeiro termo:
Combinar termos com
e sem
:
Portanto
Uma forma factorada e talvez mais elegante é