Use o método do fator integrante para encontrar a solução da EDO:
Assuma que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da EDO
assumindo
. Informações dadas e o que se pede:
- Dado: a equação diferencial linear de primeira ordem acima.
- Condição:
(isso permite dividir por sem problemas). - Objetivo: encontrar a solução geral
usando o método do fator integrante.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão
. Dividimos tudo por
(posso porque
):
Simplificando os coeficientes obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Explicação do método do fator integrante (curta e prática):
- Para uma EDO linear
, define-se o fator integrante
- Propriedade útil: multiplicando a equação por
faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto , ou seja
- Então integramos ambos os lados para encontrar
e, por fim, .
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
portanto
(obs.: constante multiplicativa do expoente pode ser ignorada aqui porque só altera a constante de integração depois.)
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
No lado direito simplificamos
, então
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Agora precisamos calcular
. Fazemos por partes duas vezes.
1ª integração por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
2ª integração por partes para
: escolha
,
. Então
,
. Logo
Voltando para
:
Fatorando
e simplificando:
Agora voltamos à integral com o coeficiente
:
Simplificando os fatores:
Passo 7
Substituir na relação obtida no Passo 6:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
para isolar
:
portanto
Simplificando as potências de
em cada termo:
onde
é a constante arbitrária de integração.