Use o método do fator integrante para encontrar a solução da EDO:
x^{2} y^{\prime}+\left(4 x-5 x^{2}\right) y=-10
Assuma que x>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da EDO
x^{2}y'+(4x-5x^{2})y=-10,
assumindo x>0. Informações dadas e o que se pede:
  • Dado: a equação diferencial linear de primeira ordem acima.
  • Condição: x>0 (isso permite dividir por x^{2} sem problemas).
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) usando o método do fator integrante.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividimos tudo por x^{2} (posso porque x>0):
y'+\frac{4x-5x^{2}}{x^{2}}\,y=-\frac{10}{x^{2}}.
Simplificando os coeficientes obtemos
y'+\left(\frac{4}{x}-5\right)y=-\frac{10}{x^{2}}.
Aqui identificamos
P(x)=\frac{4}{x}-5,\qquad Q(x)=-\frac{10}{x^{2}}.

Passo 3

Explicação do método do fator integrante (curta e prática):
  • Para uma EDO linear y'+P(x)y=Q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Propriedade útil: multiplicando a equação por \mu(x) faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto (\mu y)', ou seja
\mu(x)\big(y'+P y\big)=(\mu y)'.
  • Então integramos ambos os lados para encontrar \mu y e, por fim, y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int P(x)\,dx=\int\left(\frac{4}{x}-5\right)\,dx=4\ln x-5x,
portanto
\mu(x)=\exp\!\big(4\ln x-5x\big)=x^{4}e^{-5x}.
(obs.: constante multiplicativa do expoente pode ser ignorada aqui porque só altera a constante de integração depois.)

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x). Fazendo isso obtemos
x^{4}e^{-5x}y'+x^{4}e^{-5x}\left(\frac{4}{x}-5\right)y = x^{4}e^{-5x}\left(-\frac{10}{x^{2}}\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\big(x^{4}e^{-5x}y\big)'.
No lado direito simplificamos x^{4}\!/x^{2}=x^{2}, então
\big(x^{4}e^{-5x}y\big)' = -10x^{2}e^{-5x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{4}e^{-5x}y = \int -10x^{2}e^{-5x}\,dx + C.
Agora precisamos calcular I=\int x^{2}e^{-5x}\,dx. Fazemos por partes duas vezes.
1ª integração por partes: escolha u=x^{2}, dv=e^{-5x}dx. Então du=2x\,dx, v=-\tfrac{1}{5}e^{-5x}. Assim
\int x^{2}e^{-5x}dx = -\frac{x^{2}}{5}e^{-5x} + \frac{2}{5}\int x e^{-5x}dx.
2ª integração por partes para \int x e^{-5x}dx: escolha u=x, dv=e^{-5x}dx. Então du=dx, v=-\tfrac{1}{5}e^{-5x}. Logo
\int x e^{-5x}dx = -\frac{x}{5}e^{-5x} + \frac{1}{5}\int e^{-5x}dx = -\frac{x}{5}e^{-5x} -\frac{1}{25}e^{-5x} + C.
Voltando para I:
I = -\frac{x^{2}}{5}e^{-5x} + \frac{2}{5}\left(-\frac{x}{5}e^{-5x} -\frac{1}{25}e^{-5x}\right) + C.
Fatorando e^{-5x} e simplificando:
I = e^{-5x}\left(-\frac{x^{2}}{5}-\frac{2x}{25}-\frac{2}{125}\right) + C.
Agora voltamos à integral com o coeficiente -10:
\int -10x^{2}e^{-5x}dx = -10 I = -10\,e^{-5x}\left(-\frac{x^{2}}{5}-\frac{2x}{25}-\frac{2}{125}\right)+C.
Simplificando os fatores:
\int -10x^{2}e^{-5x}dx = e^{-5x}\left(2x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}\right)+C.

Passo 7

Substituir na relação obtida no Passo 6:
x^{4}e^{-5x}y = e^{-5x}\left(2x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}\right)+C.
Multiplicando ambos os lados por e^{5x} e dividindo por x^{4} para isolar y:
x^{4}y = 2x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} + C e^{5x},
portanto
y = \frac{2x^{2}+\tfrac{4}{5}x+\tfrac{4}{25}}{x^{4}} + C\frac{e^{5x}}{x^{4}}.
Simplificando as potências de x em cada termo:
y = \frac{2}{x^{2}} + \frac{4}{5x^{3}} + \frac{4}{25x^{4}} + C\frac{e^{5x}}{x^{4}},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

y(x)=\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{5x^{3}}+\frac{4}{25x^{4}}+C\frac{e^{5x}}{x^{4}}

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