Resolva a equação extraindo as raízes quadradas.
2(x-5)^{2}=17

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação procurando os valores de x que satisfazem
2(x-5)^{2}=17.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A expressão (x-5) está elevada ao quadrado.
  • O número 2 multiplica esse quadrado.
  • O lado direito da equação é 17.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro isolamos o termo quadrado dividindo os dois lados da equação por 2. Justificativa: se a=b e k\neq0 então \dfrac{a}{k}=\dfrac{b}{k}. Aplicando isso:
(x-5)^{2}=\frac{17}{2}.

Passo 3

Agora aplicamos a ideia de “extrair a raiz quadrada”. Princípio: se \,y^{2}=c com c\ge0, então \,y=\pm\sqrt{c}. O sinal \pm aparece porque tanto y quanto -y ao quadrado dão o mesmo valor c. Aqui y=x-5 e c=\dfrac{17}{2}>0. Portanto:
x-5=\pm\sqrt{\frac{17}{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar a raiz \sqrt{\dfrac{17}{2}}. Uma forma útil é racionalizar o denominador:
\sqrt{\frac{17}{2}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{17}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}.
Assim podemos escrever a igualdade anterior como
x-5=\pm\frac{\sqrt{34}}{2}.

Passo 5

Isolamos x somando 5 em ambos os lados:
x=5\pm\frac{\sqrt{34}}{2}.
Podemos também escrever as soluções numa única fração comum:
x=\frac{10\pm\sqrt{34}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (checar que as soluções funcionam): se x=5\pm\frac{\sqrt{34}}{2} então
x-5=\pm\frac{\sqrt{34}}{2}\quad\Rightarrow\quad (x-5)^{2}=\frac{34}{4}=\frac{17}{2},
e multiplicando por 2 volta-se a 17. Portanto ambas as soluções satisfazem a equação original.

Resposta

x=5+\dfrac{\sqrt{34}}{2}
x=5-\dfrac{\sqrt{34}}{2}

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