Resolva a equação extraindo as raízes quadradas.
3(x+4)^{2}=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \;3(x+4)^{2}=8\;.
Informações dadas:
  • A equação contém uma expressão ao quadrado: (x+4)^{2}.
  • Há um coeficiente multiplicando o quadrado: 3.
  • O lado direito é o número 8.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro objetivo: isolar o termo quadrado (x+4)^{2}. Para isso dividimos ambos os lados da equação por 3. Lembrando que dividir uma igualdade por um número diferente de zero mantém a igualdade. Assim:
(x+4)^{2}=\frac{8}{3}.

Passo 3

Agora vamos “extrair a raiz quadrada”. Relembrando a regra usada aqui: se \;A^{2}=B\; com \;B\ge 0\;, então \;A=\pm\sqrt{B}\;. O sinal \pm aparece porque tanto um número positivo quanto o seu negativo, ao quadrados, dão o mesmo valor. No nosso caso B=\dfrac{8}{3}>0, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a regra obtemos:
x+4=\pm\sqrt{\frac{8}{3}}.
Vamos simplificar \sqrt{\dfrac{8}{3}}. Primeiro separar numerador e denominador:
\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Se preferir uma forma com denominador racionalizado, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.
Portanto
x+4=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}.

Passo 5

Agora isolamos x subtraindo 4 de ambos os lados:
x=-4\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}.
Para escrever numa única fração, transforme -4 em -\dfrac{12}{3} e some:
x=\frac{-12\pm 2\sqrt{6}}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (importante em provas): se x+4=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}, então
(x+4)^{2}=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}=\frac{4\cdot 6}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3},
e multiplicando por 3 volta a dar 8. Assim ambas as soluções funcionam.

Passo 7

Resumo final das soluções (formas equivalentes): \;x=-4\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\; ou \;x=\dfrac{-12\pm 2\sqrt{6}}{3}\;. Se quiser valores aproximados para intuição: \;x\approx -4+0{,}816\approx -3{,}184\; e \;x\approx -4-0{,}816\approx -4{,}816.

Resposta

x=-4+\dfrac{2\sqrt{6}}{3}
x=-4-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}

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