Resolva a equação extraindo as raízes quadradas.
2 y^{2}-8=6-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2y^{2}-8=6-2y^{2}.
O que a questão pede: encontrar todas as raízes (valores de y) que satisfaçam essa igualdade. As informações relevantes são apenas os coeficientes e termos constantes presentes na equação acima.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica: eliminar o termo -2y^{2} do lado direito somando 2y^{2} em ambos os lados. Isso é permitido porque podemos adicionar o mesmo número aos dois lados de uma equação sem alterar a igualdade. Obtemos
2y^{2}+2y^{2}-8=6.

Passo 3

Agora combinar os termos semelhantes no lado esquerdo. 2y^{2}+2y^{2}=4y^{2}. Assim a equação vira
4y^{2}-8=6.

Passo 4

Isolar o termo com y^{2}: somar 8 em ambos os lados (novamente uma operação válida para manter a equivalência) dá
4y^{2}=14.
Em seguida dividir ambos os lados por 4 para obter y^{2} sozinho:
y^{2}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}.
Explicando: dividir por 4 é equivalente a escrever a fração; simplificou-se 14/4 para 7/2.

Passo 5

Agora vem a parte de “extrair as raízes quadradas”. Regra fundamental: se
y^{2}=a
e a\ge 0, então as soluções reais para y são
y=\pm\sqrt{a},
ou seja, tanto o número positivo quanto o negativo cuja quadrado produz a. Aqui temos a=\dfrac{7}{2}>0, então aplicamos a regra:
y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}.
Podemos simplificar a raiz racionalizando a forma: \sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}. Portanto
y=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): calcular y^{2} para y=\dfrac{\sqrt{14}}{2}:
\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{2}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2},
e substituir na equação original dá igualdade em ambos os lados (os mesmos cálculos funcionam para a raiz negativa porque o quadrado anula o sinal). Logo ambas as soluções são válidas.

Resposta

\displaystyle y=\frac{\sqrt{14}}{2}
\displaystyle y=-\frac{\sqrt{14}}{2}

Exercícios relacionados