Resolva a equação
\frac{d y}{d x}=\frac{a y+b}{c y+d}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{a\,y+b}{c\,y+d},
onde a,b,c,d são constantes. Como o lado direito depende só de y, podemos inverter a derivada e obter uma equação separável entre x e y.

Passo 2

Invertendo a relação, temos
\frac{dx}{dy}=\frac{c\,y+d}{a\,y+b},
o que nos permite escrever
dx=\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a y:
\int dx=\int\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy,
fazemos a divisão algébrica
\frac{c\,y+d}{a\,y+b} =\frac{c}{a}+\frac{d-\frac{c}{a}b}{a\,y+b} =\frac{c}{a}+\frac{a\,d-b\,c}{a\,(a\,y+b)}.
Logo,
\int\frac{c\,y+d}{a\,y+b}\,dy =\int\frac{c}{a}\,dy+\frac{a\,d-b\,c}{a}\int\frac{1}{a\,y+b}\,dy =\frac{c}{a}\,y+\frac{a\,d-b\,c}{a^2}\ln\bigl|a\,y+b\bigr|+C_1.

Passo 5

Como \int dx=x+C_2, igualando as integrais obtemos a solução implícita
\frac{c}{a}\,y+\frac{a\,d-b\,c}{a^2}\ln\bigl|a\,y+b\bigr| =x+C,
sendo C=C_2-C_1 a constante geral de integração.

Resposta

\frac{c}{a}\,y+\frac{a\,d-b\,c}{a^2}\ln\bigl|a\,y+b\bigr| =x+C.

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