Verifique que a função
u(x, y)=\frac{x^{3}}{9}+f(4 x+3 y)
é solução da equação diferencial parcial
3 \frac{\partial u}{\partial x}-4 \frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}
onde f é uma função arbitrária de classe C^{1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
u(x,y)=\frac{x^3}{9}+f(4x+3y)
e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial parcial
3\frac{\partial u}{\partial x}-4\frac{\partial u}{\partial y}=x^2,
sabendo que f é C^1(\mathbb{R}). Vamos calcular as derivadas parciais e checar a igualdade.

Passo 2

Calculemos \partial u/\partial x e \partial u/\partial y. Primeiro, como \tfrac{x^3}{9} tem derivada \tfrac{x^2}{3} em relação a x e f(4x+3y) f'(4x+3y) vezes a derivada de 4x+3y,
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{x^2}{3}+f'(4x+3y)\cdot4 =\frac{x^2}{3}+4\,f'(4x+3y).
Em seguida, derivando em relação a y, o termo \tfrac{x^3}{9} some e sobra
\frac{\partial u}{\partial y} =f'(4x+3y)\cdot3 =3\,f'(4x+3y).

Passo 3

Substituímos na equação dada:
3\frac{\partial u}{\partial x}-4\frac{\partial u}{\partial y} =3\Bigl(\frac{x^2}{3}+4\,f'(4x+3y)\Bigr) -4\bigl(3\,f'(4x+3y)\bigr).
Distribuindo,
= x^2 +12\,f'(4x+3y) -12\,f'(4x+3y) = x^2.
Os termos com f' cancelam, restando exatamente x^2.

Resposta

A função u(x,y)=\frac{x^3}{9}+f(4x+3y) satisfaz
3\frac{\partial u}{\partial x}-4\frac{\partial u}{\partial y}=x^2.

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