(vale 2,0 \mathrm{pts} ) \square Calcule o fluxo do campo
\vec{F}(u, v, w)=<v,-u, 2 w>,(u, v, w) \in \mathbb{R}^{3}
através do hemisfério u^{2}+v^{2}+w^{2}=4, w \geq 0, com o campo normal unitário no hemisfério apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(u,v,w)=\langle v,\,-u,\,2w\rangle
através do hemisfério definido por \,u^{2}+v^{2}+w^{2}=4,\;w\ge0, com a normal unitária apontando para cima.
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência (Gauss) para superfícies fechadas, combinado com o cálculo de fluxo em superfície plana.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec{F}.
Em coordenadas (u,v,w),
\div\vec{F} =\frac{\partial}{\partial u}(v) +\frac{\partial}{\partial v}(-u) +\frac{\partial}{\partial w}(2w).
Como \partial v/\partial u=0 e \partial(-u)/\partial v=0, resta
\div\vec{F}=0+0+\frac{\partial}{\partial w}(2w)=2.

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência à região sólida V que é o semibol de raio 2 (acima do plano w=0).
O teorema diz
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{V}\div\vec{F}\,dV.
A fronteira \partial V é a união do hemisfério S_h (normal para fora, apontando «para cima») e do disco S_d no plano w=0 (normal para fora, apontando «para baixo»).

Passo 4

Calcular o volume de V e o integral de divergência:
\iiint_{V}\div\vec{F}\,dV =2\;\times\;\Vol(V).
Como V é metade de uma bola de raio 2, sua volume é
\Vol(V)=\tfrac12\cdot\frac{4}{3}\pi(2)^{3} =\frac12\cdot\frac{32\pi}{3} =\frac{16\pi}{3}.
Portanto
\iiint_{V}\div\vec{F}\,dV =2\cdot\frac{16\pi}{3} =\frac{32\pi}{3}.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco S_d no plano w=0.
No disco, w=0 e o vetor normal para fora de V é \vec{n}_{d}=(0,0,-1).
Temos \vec{F}(u,v,0)=\langle v,\,-u,\,0\rangle, logo
\vec{F}\cdot\vec{n}_{d} =\langle v,-u,0\rangle\cdot(0,0,-1)=0.
Assim o fluxo através de S_d é zero:
\iint_{S_d}\vec{F}\cdot\vec{n}_{d}\,dS=0.

Passo 6

Pela conservação de fluxo no contorno fechado:
\iint_{S_h}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS +\iint_{S_d}\vec{F}\cdot\vec{n}_{d}\,dS =\frac{32\pi}{3}.
Como o segundo termo é zero, o fluxo pelo hemisfério é
\iint_{S_h}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\frac{32\pi}{3}.

Resposta

\frac{32\pi}{3}.

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