(vale
)
Calcule o fluxo do campo
através do hemisfério
, com o campo normal unitário no hemisfério apontando para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através do hemisfério definido por
, com a normal unitária apontando para cima.
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência (Gauss) para superfícies fechadas, combinado com o cálculo de fluxo em superfície plana.
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência (Gauss) para superfícies fechadas, combinado com o cálculo de fluxo em superfície plana.
Passo 2
Calcular a divergência de
.
Em coordenadas ,
Em coordenadas
Como
e
, resta
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência à região sólida
que é o semibol de raio
(acima do plano
).
O teorema diz
O teorema diz
A fronteira
é a união do hemisfério
(normal para fora, apontando «para cima») e do disco
no plano
(normal para fora, apontando «para baixo»).
Passo 4
Calcular o volume de
e o integral de divergência:
Como
é metade de uma bola de raio
, sua volume é
Portanto
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
no plano
.
No disco, e o vetor normal para fora de
é
.
Temos , logo
No disco,
Temos
Assim o fluxo através de
é zero:
Passo 6
Pela conservação de fluxo no contorno fechado:
Como o segundo termo é zero, o fluxo pelo hemisfério é