1. Para quais valores de x, a função f(x)=3 cos (x)+2 atinge seu máximo?

Passo 1

O enunciado pede os valores de x nos quais a função
f(x)=3cos(x)+2
atinge seu valor máximo. O conteúdo aqui é análise de máximos de uma função periódica simples, usando derivada ou reconhecendo que cos(x) varia entre -1 e 1.

Passo 2

Calculamos a derivada para localizar pontos críticos:
f'(x) = ddxl(3cos(x)+2r) = -3sin(x)
Para ter ponto crítico, impomos
f'(x)=0 Longrightarrow -3sin(x)=0 Longrightarrow sin(x)=0
As soluções gerais são
x = kpi, kinZ

Passo 3

Para decidir quais desses são máximos, podemos usar a segunda derivada:
f''(x) = ddxl(-3sin(x)r) = -3cos(x)
Em x=kpi temos cos(kpi)=(-1)^k, então
f''(kpi) = -3(-1)^k
Queremos f''(kpi)<0 para máximo, ou seja
-3(-1)^k < 0 Longrightarrow (-1)^k > 0 Longrightarrow k é par é
Logo os máximos ocorrem quando k=2n, ninZ, isto é,
x = 2npi

Resposta

Os valores de x que maximizam f são
x = 2npi, ninZ

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