Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
x y^prime=3 y+x^4 cos x ; y(2 pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = 3,y + x^4cos x
com a condição inicial y(2pi)=0. O conteúdo aqui é resolver uma equação linear do tipo
y' + p(x),y = q(x)
e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por x (supondo xneq0):
y' - 3x,y = x^3cos x
Aqui temos p(x) = -3/x e q(x)=x^3cos x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral l(-tfrac3xr),dx = e^-3ln x = x^-3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x^-3:
x^-3y' - 3x^-4y = cos x
O lado esquerdo é justamente a derivada de x^-3y, ou seja,
ddxl(x^-3yr) = cos x
Integrando ambos os lados em relação a x,
x^-3y = integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando a y, obtemos a solução geral:
y(x) = x^3l(sin x + Cr)
Agora usamos a condição inicial y(2pi)=0. Como sin(2pi)=0, vem
0 = y(2pi) = (2pi)^3l(0 + Cr) Longrightarrow C=0

Resposta

A solução que satisfaz y(2pi)=0 é
y(x) = x^3sin x

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