Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & -3 \\\\ 4 & 5 & -4 \\\\ 6 & 4 & -4\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 2 & -3 \\[4pt] 4 & 5 & -4 \\[4pt] 6 & 4 & -4\end{pmatrix}
e define a função característica
f(x)=\det(A-xI).
O objetivo é resolver a equação f(x)=0, ou seja, encontrar todos os valores de x que anulem o determinante \det(A-xI).]

Passo 2

Primeiro escrevo a matriz A-xI. Subtrair x da diagonal significa:
A-xI=\begin{pmatrix}5-x & 2 & -3 \\[4pt] 4 & 5-x & -4 \\[4pt] 6 & 4 & -4-x\end{pmatrix}.
Agora vou calcular o determinante de uma matriz 3\times3. Uma forma direta é usar a expansão por cofatores (ou regra de Sarrus). Vou expandir pela primeira linha: se
M=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
então
\det M = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando isso a A-xI, com a=5-x, b=2, c=-3, d=4, e=5-x, f=-4, g=6, h=4, i=-4-x, obtenho:
\begin{aligned} f(x)&=\det(A-xI) \\\ &=(5-x)\det\begin{pmatrix}5-x & -4 \\[4pt] 4 & -4-x\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}4 & -4 \\[4pt] 6 & -4-x\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}4 & 5-x \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix}. \end{aligned}]

Passo 3

Agora calculo cada determinante 2\times2 e simplifico passo a passo:
Calcule o primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}5-x & -4 \\[4pt] 4 & -4-x\end{pmatrix}=(5-x)(-4-x)-(-4)\cdot 4.
Expando:
(5-x)(-4-x)=x^2-x-20
(e isso pode ser verificado expandindo termo a termo), e então
(5-x)(-4-x)-(-4)\cdot 4 = (x^2-x-20)+16 = x^2-x-4.
Calcule o segundo menor:
\det\begin{pmatrix}4 & -4 \\[4pt] 6 & -4-x\end{pmatrix}=4(-4-x)-(-4)\cdot 6 = -16-4x+24 = 8-4x.
Calcule o terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}4 & 5-x \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix}=4\cdot 4-(5-x)\cdot 6 = 16-(30-6x)= -14+6x.
Agora volto para f(x):
\begin{aligned} f(x)&=(5-x)(x^2-x-4)-2(8-4x)+(-3)(-14+6x)\\[4pt] &=(5-x)(x^2-x-4)-16+8x+42-18x. \end{aligned}
Somo os termos constantes e os termos em x:
-16+42=26,\qquad 8x-18x=-10x,
portanto
f(x)=(5-x)(x^2-x-4)+26-10x.]

Passo 4

Expando (5-x)(x^2-x-4) cuidadosamente:
(5-x)(x^2-x-4)=5x^2-5x-20 -x^3 +x^2 +4x = -x^3 +6x^2 -x -20.
Somando com 26-10x obtemos
f(x)=-x^3 +6x^2 -x -20 +26 -10x = -x^3 +6x^2 -11x +6.
É conveniente retirar o sinal comum -1:
f(x) = -\bigl(x^3 -6x^2 +11x -6\bigr).
Assim os zeros de f(x) são exatamente os zeros do polinômio
p(x)=x^3 -6x^2 +11x -6.

Passo 5

Para resolver p(x)=0 uso o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes racionais (divisores do termo constante) são \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Testo x=1:
p(1)=1-6+11-6=0,
logo x=1 é raiz. Divido p(x) por (x-1) (por divisão polinomial ou por esquema de Briot–Ruffini). Fazendo a divisão resulta a quadrática
p(x)=(x-1)(x^2-5x+6).
Factorizo a quadrática:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Portanto
p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 6

Voltando a f(x), lembrando que f(x)=-p(x), temos
f(x)=- (x-1)(x-2)(x-3).
A equação f(x)=0 tem as mesmas raízes de p(x)=0. Assim as soluções são x=1, x=2 e x=3. Todas são raízes simples (multiplicidade 1).

Resposta

x=1
x=2
x=3

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