Resolva a equação:
l Y^prime prime-3 y^prime+2 y=1 Y(0)=0 Y^prime(0)=1
Com uso da transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado dá a EDO não homogênea
y'' - 3y' + 2y = 1
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo é transformada de Laplace: vamos usar Ly=Y(s), as fórmulas para derivadas e a tabela de transformadas.

Passo 2

Aplica-se a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly'' - 3,Ly' + 2,Ly ;=;L1
Usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), L1=1s,
obtemos a equação em s.

Passo 3

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1 temos
l(s^2-3s+2r)Y(s)-1=1s Longrightarrow Y(s)=1+tfrac1ss^2-3s+2 =s+1s,(s^2-3s+2)

Passo 4

Fatorando s^2-3s+2 = (s-1)(s-2) faz-se frações parciais:
s+1s(s-1)(s-2)=As+Bs-1+Cs-2
Multiplicando por s(s-1)(s-2) e avaliando em s=0,1,2 encontra-se
A=tfrac12, B=-2, C=tfrac32

Passo 5

Inverte-se a transformada termo a termo:
y(t) =tfrac12L^-1tfrac1s -2L^-1tfrac1s-1 +tfrac32L^-1tfrac1s-2 =tfrac12-2e^t+tfrac32e^2t

Passo 6

Verificando as condições:
y(0)=tfrac12-2+tfrac32=0, y'(t)=-2e^t+3e^2timplies y'(0)=-2+3=1,
como exigido.

Resposta

y(t)=tfrac12-2e^t+tfrac32e^2t

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