Resolva a equação x^2+ln (x)=0 pelo método de Newton-Raphson com varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda: “Resolver a equação
x^2 + ln(x) = 0
usando o método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon = 0,01.”
Isso é de Análise Numérica (Métodos Iterativos). Vamos precisar:
- Montar a função f(x)=x^2+ln(x)
- Calcular sua derivada f'(x)
- Escolher um chute inicial e iterar até que a mudança em x seja menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, a gente define a função e sua derivada:
f(x)=x^2+ln(x),, f'(x)=2x+1x,
A fórmula do Newton-Raphson é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
Vamos usar isso a cada passo para chegar mais perto da raiz.

Passo 3

  1. Escolhendo um chute inicial: a gente quer f(x)=0. Testando rápido, em x=1 f(1)=1+0=1>0, e em x=0,5 0,25+ln(0,5)approx-0,44<0. Então a raiz fica entre 0,5 e 1. Um chute legal é x0=0,7.
  2. Iteração 1 ( n=0):
    • f(0,7)=0,7^2+ln(0,7)approx0,49-0,3567=0,1333
    • f'(0,7)=2cdot0,7+tfrac10,7approx1,4+1,4286=2,8286
    • Atualiza: x1=0,7-0,13332,8286approx0,6529
      - Diferença |x1-x0|approx0,0471>0,01, ainda não basta.
  3. Iteração 2 ( n=1):
    • f(0,6529)approx0,6529^2+ln(0,6529)approx0,4263-0,4265=-0,0002
    • f'(0,6529)approx2cdot0,6529+tfrac10,6529approx1,3058+1,5316=2,8374
    • Atualiza: x2=0,6529--0,00022,8374approx0,65297
      - Diferença |x2-x1|approx0,00007<0,01, então paramos.

Resposta

A solução aproximada é xapprox0,653,

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