Seja F(x, y, z) um campo vetorial conservativo, isto é, F(x, y, z)=grad f=nabla(x, y, z), onde f(x, y, z) é um campo escalar, Tabela (1).
Utilizando métodos numéricos, determinar a equação da reta que passa por dois pontos em que a derivada do campo vetorial em relação a variável z é nulo, partial F(x, y, z)partial z=0, considerando o erro menor que 1 0^- 6. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo, e a metodologia utilizada na resolução do exercício. (Valor: 2, 0).
Tabela 1: Relação das Funções Potencial ordenado por equipe
Equipe Função Potencial
01 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+z^2)-2 x e^z y
02 f(x, y, z)=-cos (x y)-z e^-x y
03 f(x, y, z)=x^2 sen(y^2+z^2)-2 x e^-y
04 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+z^3)-2 x z e^z y
05 f(x, y, z)=x^2 cos (y z)-z e^y
06 f(x, y, z)=y^2 cos (x^2+z^2)-2 y e^z
07 f(x, y, z)=z^2 sen(x^2+y^2)-2 z e^x
08 f(x, y, z)=y^2 e^(y^2+z^2)-2 x cos (y+z)
09 f(x, y, z)=x^2 e^(y^2+z^2)-2 z cos (x+y)
10 f(x, y, z)=z^2 e^(y^2+z^2)-2 y sen(x+z)
11 f(x, y, z)=z sen(y+x)-x e^z+y
12 f(x, y, z)=y cos (x z)-z y e^x
13 f(x, y, z)=x^2 sen(2 y^2+z^2)-2 x z e^-x y
14 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+2 z)-2 x z e^y

Passo 1

Beleza, manda bem: temos um campo vetorial conservativo
vec F(x,y,z)=nabla f(x,y,z)
onde, no nosso caso (equipe 01),
f(x,y,z)=cosl(x^2+y^2+z^2r);-;2,x,e^z,y,
O que a questão pede é: achar todos os pontos em que
partial vec Fpartial z=0
e, depois, pegar dois desses pontos e montar a reta que passa por eles, com erro numérico menor que .
Para isso vamos usar:
• derivadas parciais (até segunda ordem);
• método numérico para achar raízes (Newton, por exemplo);
• montar a reta em forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos obter o campo vetorial Fx = partial fpartial x, Fy = partial fpartial y, Fz = partial fpartial z . Isso significa:
Calculando cada uma:

Passo 3

Agora precisamos da derivada de r^2 = x^2+y^2+z^2, em relação a partial Fxpartial z &= -2x;cos(r^2);(2z);-;2,y,e^z,y = -4,x,zcos(r^2);-;2,y,e^z,y, partial Fypartial z &= -2y;cos(r^2);(2z);-;2,x,e^z,y,(1+y,z) = -4,y,zcos(r^2);-;2,x,e^z,y,(1+y,z), partial Fzpartial z &= -2sin(r^2);-;2z;(2z)cos(r^2);-;2,x,y^2,e^z,y &= -2sin(r^2);-;4,z^2cos(r^2);-;2,x,y^2,e^z,y . Ou seja, calcular cada componente
e igualar a zero.
Chamando
as contas dão:
A condição pedida é que estas três expressões sejam zero simultaneamente.

Passo 4

Para resolver esse sistema, percebemos que uma solução óbvia é
x=0, y=0
Com isso, as duas primeiras equações ficam nulas automaticamente, e a terceira vira
-2sin(z^2);-;4,z^2cos(z^2)=0 ;;Long<=ftrightarrow;; sin(u)+2,ucos(u)=0, u=z^2
Ou seja, reduzimos tudo a achar raízes de
.

Passo 5

Usamos, por exemplo, o método de Newton para achar as raízes de
g(u)=0
com tolerância P1=(0,0,0), P2=(0,0,1.356229), . Encontramos:
.
.
Esses são dois valores de que satisfazem a equação. Como , nossos dois pontos no espaço são
com erro abaixo de .

Passo 6

Por fim, a reta que passa por boxed Reta: x(t)=0, y(t)=0, z(t)=1.356229,t, tin R e pode ser escrita em forma paramétrica. Como o vetor diretor é
, temos:

Resposta

A reta que passa pelos dois pontos em que boxedx=0, y=0, z=1.356229,t, (com erro ) é

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