Seja um campo vetorial conservativo, isto é, , onde é um campo escalar, Tabela (1).
Utilizando métodos numéricos, determinar a equação da reta que passa por dois pontos em que a derivada do campo vetorial em relação a variável é nulo, , considerando o erro menor que . Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo, e a metodologia utilizada na resolução do exercício. (Valor: 2, 0).
Tabela 1: Relação das Funções Potencial ordenado por equipe
Equipe
Função Potencial
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
Passo 1
Beleza, manda bem: temos um campo vetorial conservativo
onde, no nosso caso (equipe 01),
O que a questão pede é: achar todos os pontos em que
e, depois, pegar dois desses pontos e montar a reta que passa por eles, com erro numérico menor que .
Para isso vamos usar:
• derivadas parciais (até segunda ordem);
• método numérico para achar raízes (Newton, por exemplo);
• montar a reta em forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos obter o campo vetorial . Isso significa:
Calculando cada uma:
Passo 3
Agora precisamos da derivada de r^2 = x^2+y^2+z^2, em relação a partial Fxpartial z &= -2x;cos(r^2);(2z);-;2,y,e^z,y = -4,x,zcos(r^2);-;2,y,e^z,y, partial Fypartial z &= -2y;cos(r^2);(2z);-;2,x,e^z,y,(1+y,z) = -4,y,zcos(r^2);-;2,x,e^z,y,(1+y,z), partial Fzpartial z &= -2sin(r^2);-;2z;(2z)cos(r^2);-;2,x,y^2,e^z,y &= -2sin(r^2);-;4,z^2cos(r^2);-;2,x,y^2,e^z,y . Ou seja, calcular cada componente e igualar a zero.
Chamando
as contas dão:
A condição pedida é que estas três expressões sejam zero simultaneamente.
Passo 4
Para resolver esse sistema, percebemos que uma solução óbvia é
x=0, y=0
Com isso, as duas primeiras equações ficam nulas automaticamente, e a terceira vira
Esses são dois valores de que satisfazem a equação. Como , nossos dois pontos no espaço são
com erro abaixo de .
Passo 6
Por fim, a reta que passa por boxed Reta: x(t)=0, y(t)=0, z(t)=1.356229,t, tin R e pode ser escrita em forma paramétrica. Como o vetor diretor é , temos:
Resposta
A reta que passa pelos dois pontos em que boxedx=0, y=0, z=1.356229,t, (com erro ) é