Seja F(x, y, z) um campo vetorial conservativo, isto é, F(x, y, z)=grad f=nabla(x, y, z), onde f(x, y, z) é um campo escalar, Tabela (1).
Realizar um estudo quantitativo e qualitativo da função f(x, y, z), inclusive, apresentando a representação gráfica do comportamento do campo. (Valor: 1,0 ).
Tabela 1: Relação das Funções Potencial ordenado por equipe
Equipe Função Potencial
01 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+z^2)-2 x e^z y
02 f(x, y, z)=-cos (x y)-z e^-x y
03 f(x, y, z)=x^2 sen(y^2+z^2)-2 x e^-y
04 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+z^3)-2 x z e^z y
05 f(x, y, z)=x^2 cos (y z)-z e^y
06 f(x, y, z)=y^2 cos (x^2+z^2)-2 y e^z
07 f(x, y, z)=z^2 sen(x^2+y^2)-2 z e^x
08 f(x, y, z)=y^2 e^(y^2+z^2)-2 x cos (y+z)
09 f(x, y, z)=x^2 e^(y^2+z^2)-2 z cos (x+y)
10 f(x, y, z)=z^2 e^(y^2+z^2)-2 y sen(x+z)
11 f(x, y, z)=z sen(y+x)-x e^z+y
12 f(x, y, z)=y cos (x z)-z y e^x
13 f(x, y, z)=x^2 sen(2 y^2+z^2)-2 x z e^-x y
14 f(x, y, z)=cos (x^2+y^2+2 z)-2 x z e^y

Passo 1

Beleza, aqui a tarefa é analisar direitinho a função

que é potencial de um campo conservativo .
O que a gente vai precisar:
  1. Calcular gradiente (parciais de ).
  2. Ver onde (pontos críticos).
  3. Usar a matriz Hessiana pra ver se dá mínimo, máximo ou sela.
  4. Discutir limites e “jeito” geral da superfície (qualitativo).
  5. Mostrar como seria um gráfico (fatiando em planos, superfícies de nível, etc.).

Passo 2

Vamos achar o gradiente fx = -2x,sinl(x^2+y^2+z^2r);-;2,e^zy .
  1. Derivada parcial em fy = -2y,sinl(r^2r);-;2xz,e^zy :
    fz = -2z,sinl(r^2r);-;2xy,e^zy .
    Ou seja
  1. Em :
    ,
    e .
    Então
  1. Em :
    ,
    e .
    Logo

Passo 3

Pontos críticos vêm de resolver o sistema
fx=0;Longrightarrow;-2x,sin(r^2)-2,e^zy=0, fy=0;Longrightarrow;-2y,sin(r^2)-2xz,e^zy=0, fz=0;Longrightarrow;-2z,sin(r^2)-2xy,e^zy=0,
ou simplificando tirando o “ x,sin(r^2) + e^zy = 0, y,sin(r^2) + xz,e^zy = 0, z,sin(r^2) + xy,e^zy = 0 ”:
Repara que para todo . A primeira equação diz
.
Isso não tem solução trivial como (pois daí sobraria , impossível).
Se a gente tentar combinar com as outras, vê que não rola fechar em nenhum triplo real.

Passo 4

Conclusão sobre pontos críticos:
Não existe que anule todas as três equações ao mesmo tempo, pois a parte exponencial nunca zera.
Ou seja, não há pontos críticos – logo não há mínimos ou máximos locais “certinhos” a partir de .

Passo 5

Agora, qualitativo:
  1. O termo oscila entre e , decaindo e subindo conforme a distância ao eixo.
  2. O pedaço explode para dependendo de ter sinal oposto a .
    • Para e , .
    • Para e , dá .
      No infinito a função não se “estabiliza”: ela fica dominada pela exponencial e cresce ou decresce sem limites.

Passo 6

Representação gráfica (modo amigo):
– Você pode plotar superfícies de nível f(x,y,0)=cos(x^2+y^2),-2x .
– Ou fazer cortes, tipo , e ver
Isso dá um “vale” inclinado que oscila com anéis (por causa do ).
– Num plano , fica
, mesmo esquema, mas agora em e .
Você também pode mostrar setas do campo sobre esses planos pra ver pra onde “puxa” o campo conservativo.

Resposta

  1. Gradiente:
nabla f= l(-2xsin(r^2)-2e^zy,;-2ysin(r^2)-2xz,e^zy,;-2zsin(r^2)-2xy,e^zyr)
  1. Não existem pontos críticos (nenhuma solução real de ).
  2. Não há máximos ou mínimos locais isolados.
  3. A função é contínua, diferenciável e tem comportamento oscilatório por conta do , mas explode onde domina.
  4. Graficamente, basta plotar cortes ou e superfícies de nível para ver as ondulações circulares inclinadas e o efeito da exponencial.

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