Seja um campo vetorial conservativo, isto é, , onde é um campo escalar, Tabela (1).
Realizar um estudo quantitativo e qualitativo da função , inclusive, apresentando a representação gráfica do comportamento do campo. (Valor: 1,0 ).
Tabela 1: Relação das Funções Potencial ordenado por equipe
Equipe
Função Potencial
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
Passo 1
Beleza, aqui a tarefa é analisar direitinho a função
que é potencial de um campo conservativo .
O que a gente vai precisar:
Calcular gradiente (parciais de ).
Ver onde (pontos críticos).
Usar a matriz Hessiana pra ver se dá mínimo, máximo ou sela.
Discutir limites e “jeito” geral da superfície (qualitativo).
Mostrar como seria um gráfico (fatiando em planos, superfícies de nível, etc.).
Repara que para todo . A primeira equação diz .
Isso não tem solução trivial como (pois daí sobraria , impossível).
Se a gente tentar combinar com as outras, vê que não rola fechar em nenhum triplo real.
Passo 4
Conclusão sobre pontos críticos:
Não existe que anule todas as três equações ao mesmo tempo, pois a parte exponencial nunca zera.
Ou seja, não há pontos críticos – logo não há mínimos ou máximos locais “certinhos” a partir de .
Passo 5
Agora, qualitativo:
O termo oscila entre e , decaindo e subindo conforme a distância ao eixo.
O pedaço explode para dependendo de ter sinal oposto a .
Para e , .
Para e , dá .
No infinito a função não se “estabiliza”: ela fica dominada pela exponencial e cresce ou decresce sem limites.
Passo 6
Representação gráfica (modo amigo):
– Você pode plotar superfícies de nível f(x,y,0)=cos(x^2+y^2),-2x .
– Ou fazer cortes, tipo , e ver
Isso dá um “vale” inclinado que oscila com anéis (por causa do ).
– Num plano , fica , mesmo esquema, mas agora em e .
Você também pode mostrar setas do campo sobre esses planos pra ver pra onde “puxa” o campo conservativo.