Resolva a equação 2 A_{x, 4}=4!C_{x, x-5}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2\,A_{x,4} \;=\; 4!\,C_{x,x-5}.
Isso é análise combinatória: A_{n,k} são as permutações de n elementos tomados de k em k e C_{n,k} são as combinações.

Passo 2

Lembrando as fórmulas
A_{x,4} = \frac{x!}{(x-4)!},\qquad C_{x,x-5} = \binom{x}{x-5} = \binom{x}{5},
pois \binom{x}{x-5}=\binom{x}{5} por simetria.

Passo 3

Substituindo na equação original:
2\,\frac{x!}{(x-4)!} \;=\; 4!\;\binom{x}{5} = 24\;\frac{x!}{5!\,(x-5)!} = 24\;\frac{x!}{120\,(x-5)!} = \frac{1}{5}\,\frac{x!}{(x-5)!}.
Logo temos
2\,\frac{x!}{(x-4)!} = \frac{1}{5}\,\frac{x!}{(x-5)!}.

Passo 4

Para x\ge5 podemos escrever
2\,\frac{x!}{(x-4)!} =2\,x(x-1)(x-2)(x-3), \quad \frac{1}{5}\,\frac{x!}{(x-5)!} =\tfrac{1}{5}\,x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).
A igualdade vira
2\,x(x-1)(x-2)(x-3) =\tfrac{1}{5}\,x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).
Multiplicando por 5 e dividindo por x(x-1)(x-2)(x-3)\neq0 (pois x\ge5), obtemos
10 = x-4 \quad\Longrightarrow\quad x = 14.

Resposta

x = 14

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