Resolva a equação:
y d x+(2 x y-e^-2 y d y)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma diferencial:
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0
O conteúdo envolvido é reconhecer se esta forma é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que dependa só de y.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y, N(x,y) = 2xy - e^-2y
Calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 2y
Como 1 neq 2y, a forma não é exata. Procuramos, então, um fator integrante mu que dependa apenas de y, usando a condição
partial Npartial x - partial Mpartial yM = 2y - 1y = 2 - 1y

Passo 3

O fator integrante mu(y) satisfaz
mu'(y)mu(y) = 2 - 1y
Integrando,
ln mu(y) = integrall(2 - 1yr),dy = 2y - ln y + C1,
logo podemos escolher
mu(y) = e^2yy

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y) e obtemos
e^2y,dx + l(2x e^2y - tfrac1yr),dy = 0,
que agora é exata. Chamando de Phi(x,y) a função potencial, temos
partial Phipartial x = e^2y,
integramos em x:
Phi(x,y) = x e^2y + h(y)
Em seguida,
partial Phipartial y = 2x e^2y + h'(y)
deve coincidir com 2x e^2y - tfrac1y, o que dá h'(y) = -tfrac1y. Integrando,
h(y) = -ln y,
e portanto
Phi(x,y) = x e^2y - ln y
é constante ao longo das soluções.

Resposta

A solução geral pode ser escrita implicitamente como
x e^2y - ln y = C,
onde C é a constante de integração.

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