Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma diferencial:
O conteúdo envolvido é reconhecer se esta forma é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Como
, a forma não é exata. Procuramos, então, um fator integrante
que dependa apenas de
, usando a condição
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
Integrando,
logo podemos escolher
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
e obtemos
que agora é exata. Chamando de
a função potencial, temos
integramos em
:
Em seguida,
deve coincidir com
, o que dá
. Integrando,
e portanto
é constante ao longo das soluções.
Resposta
A solução geral pode ser escrita implicitamente como
onde
é a constante de integração.