Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não‐homogênea em coeficiente variável
Conteúdo: séries de potências (método de Frobenius). Vamos precisar assumir uma solução em série ao redor de 0 e obter a recorrência dos coeficientes.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Logo,
Passo 3
Substituímos em
e obtemos
Passo 4
Reindexamos cada soma para ter potências iguais de
:
Para a primeira soma: seja
→
.
Para a segunda soma: seja
→
.
Para a terceira:
, e renomeamos
.
Fica então, para
:
Passo 5
Do caso
extraímos
logo
Passo 6
Para
a recorrência geral é
Isso expressa
em função de
e
.
Passo 7
Os dois coeficientes iniciais
e
são livres, gerando duas soluções lineares independentes:
Solução par (quando
) e ímpar (quando
).
Logo a solução geral é
onde cada
é dada pela série com a recorrência obtida.
Passo 8
Podemos escrever explicitamente as duas séries iniciais até alguns termos:
Solução par (
):
Solução ímpar (
):
Passo 9
Essas séries definem a solução geral por combinação linear.
Resposta
A solução geral é
com os dois modos independentes dados pelas séries cuja recorrência é
gerando a família de soluções em série alocadas em torno de
.