Resolva a equação:
y^prime prime+y^prime-x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não‐homogênea em coeficiente variável
Conteúdo: séries de potências (método de Frobenius). Vamos precisar assumir uma solução em série ao redor de 0 e obter a recorrência dos coeficientes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Logo,
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituímos em
y''+y'-xy=0
e obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2+sumn=1^inftyn anx^n-1-xsumn=0^inftyanx^n=0

Passo 4

Reindexamos cada soma para ter potências iguais de x^m:
Para a primeira soma: seja m=n-2 n=m+2.
Para a segunda soma: seja m=n-1 n=m+1.
Para a terceira: -xsum anx^n=-sump=1ap-1x^p, e renomeamos p=m.
Fica então, para m>=0:
(m+2)(m+1)am+2+(m+1)am+1-am-1,&m>=10,&m=0=0

Passo 5

Do caso m=0 extraímos
2cdot1,a2+1cdot a1=0
logo
a2=-tfraca12

Passo 6

Para m>=1 a recorrência geral é
am+2=- (m+1)am+1+am-1(m+2)(m+1)
Isso expressa am+2 em função de am+1 e am-1.

Passo 7

Os dois coeficientes iniciais a0 e a1 são livres, gerando duas soluções lineares independentes:
Solução par (quando a1=0) e ímpar (quando a0=0).
Logo a solução geral é
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x),
onde cada yi é dada pela série com a recorrência obtida.

Passo 8

Podemos escrever explicitamente as duas séries iniciais até alguns termos:
Solução par ( a1=0,a0=1):
y1(x)=1-0,x-tfrac12x^2+cdots
Solução ímpar ( a0=0,a1=1):
y2(x)=x-tfrac12x^2+cdots

Passo 9

Essas séries definem a solução geral por combinação linear.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x),
com os dois modos independentes dados pelas séries cuja recorrência é
a0 e a1 livres,
a2=-tfraca12,
am+2=-(m+1)am+1+am-1(m+2)(m+1),
gerando a família de soluções em série alocadas em torno de x=0.

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