Resolva equaçãoes linear com coeficientes constantes:
y^{\prime}+2 y=5 \operatorname{sen} 2 t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes
y' + 2y = 5\operatorname{sen} 2t.
O conteúdo é EDO linear e vamos usar o método do fator integrante, além da fórmula para integrar \displaystyle \int e^{at}\sin(bt)\,dt.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) que satisfaz
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{2t}, obtemos
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = 5e^{2t}\operatorname{sen} 2t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\,e^{2t}, isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{2t}\bigr)=5e^{2t}\operatorname{sen} 2t.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{2t}=\int 5e^{2t}\operatorname{sen} 2t\,dt + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int e^{2t}\operatorname{sen} 2t\,dt, usamos a fórmula
\int e^{at}\operatorname{sen}(bt)\,dt =\frac{e^{at}\bigl(a\operatorname{sen}(bt)-b\cos(bt)\bigr)}{a^2+b^2}.
Aqui a=2 e b=2, então
\int e^{2t}\operatorname{sen} 2t\,dt =\frac{e^{2t}\bigl(2\sen2t-2\cos2t\bigr)}{2^2+2^2} =\frac{e^{2t}(2\sen2t-2\cos2t)}{8} =\frac{1}{4}e^{2t}(\sen2t-\cos2t).
Multiplicando por 5,
\int 5e^{2t}\sen2t\,dt =\frac{5}{4}e^{2t}(\sen2t-\cos2t).

Passo 6

Substituindo na expressão de y\,e^{2t} e isolando y, obtemos
y\,e^{2t} =\frac{5}{4}e^{2t}(\sen2t-\cos2t)+C \quad\Longrightarrow\quad y(t) =\frac{5}{4}(\sen2t-\cos2t)+Ce^{-2t}.

Resposta

y(t)=Ce^{-2t}+\frac{5}{4}\bigl(\sen2t-\cos2t\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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