Resolva equaçãoes linear com coeficientes constantes:
y^{\prime}+y=t e^{-1}+1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes
y' + y = t e^{-1} + 1.
O conteúdo aqui é o método do fator integrante, em que definimos \mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.

Passo 2

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t}, obtendo
e^{t}y' + e^{t}y = (t e^{-1} + 1)\,e^{t}.
O lado esquerdo reconhece-se como a derivada de y\,e^{t}.

Passo 3

Reescrevendo explicitamente, temos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t}\bigr) = t e^{-1}e^{t} + e^{t}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t.

Passo 4

Calculamos as integrais do lado direito:
\int t e^{-1}e^{t}\,dt = e^{-1}\int t e^{t}\,dt = e^{-1}\bigl(t e^{t} - e^{t}\bigr) = e^{t-1}(t-1),
\int e^{t}\,dt = e^{t}.
Logo, integrando,
y\,e^{t} = e^{t-1}(t-1) + e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y dividindo por e^{t}, obtemos
y = e^{-t}\bigl(e^{t-1}(t-1) + e^{t} + C\bigr) = e^{-1}(t-1) + 1 + C\,e^{-t}.

Resposta

y(t) = \frac{t-1}{e} + 1 + C\,e^{-t}.

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