Resolva equaçãoes linear com coeficientes constantes:
2 y^{\prime}+y=3 t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes
2\,y'(t) + y(t) = 3\,t.
O objetivo é encontrar a solução geral y(t). Vamos usar o método de equação homogênea mais um palpite de solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
2\,y'_h + y_h = 0.
Dividindo por 2, fica
y'_h + \tfrac12\,y_h = 0,
cuja solução é
y_h(t) = C\,e^{-t/2},
com C constante arbitrária.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p(t). Como o termo não homogêneo é o polinômio 3t, tentamos
y_p(t) = A\,t + B.
Então y'_p(t)=A. Substituindo em 2y'_p + y_p = 3t obtemos
2A + (A\,t + B) = 3t \quad\Longrightarrow\quad A\,t + (2A + B) = 3t.
Comparando coeficientes em t e termo constante:
A = 3, \qquad 2A + B = 0 \;\Longrightarrow\; B = -6.
Logo
y_p(t) = 3t - 6.

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C\,e^{-t/2} + (3t - 6).

Resposta

y(t) = C\,e^{-t/2} + 3t - 6,
onde C é uma constante arbitrária.

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