Resolva equaçãoes linear com coeficientes constantes:
y^{\prime}+3 y=t+e^{-2 t}.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes
y' + 3y = t + e^{-2t}.
O conteúdo é resolução de ODE linear de 1ª ordem. Vamos obter a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y_h' + 3y_h = 0.
Isto implica
\frac{dy_h}{dt} = -3\,y_h
e, portanto,
y_h(t) = C\,e^{-3t},
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p pelo método dos coeficientes a determinar. Como o termo à direita é t + e^{-2t}, suponha
y_p(t) = a\,t + b + c\,e^{-2t}.
Então
y_p'(t) = a - 2c\,e^{-2t}.
Substituindo em y' + 3y:
y_p' + 3y_p = \bigl(a - 2c\,e^{-2t}\bigr) + 3\bigl(a\,t + b + c\,e^{-2t}\bigr) = 3a\,t + (a + 3b) + (3c - 2c)\,e^{-2t}.
Isso deve ser igual a t + e^{-2t}. Igualando coeficientes:
3a = 1,\quad a + 3b = 0,\quad c = 1.
Daí
a = \tfrac{1}{3},\quad b = -\tfrac{1}{9},\quad c = 1.
Logo
y_p(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2t}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C\,e^{-3t} + \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2t}.

Resposta

y(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2t} + C\,e^{-3t}.

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