Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}+5 y=4 y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y = 4y'.
O conteúdo aqui é a técnica de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, que usa a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo no lado esquerdo para obter a forma padrão
y'' - 4y' + 5y = 0.
A partir daí, definimos a equação característica associada, trocando y por e^{rx}, o que dá
r^2 - 4r + 5 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 - 4r + 5 = 0.
O discriminante é \Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4, logo as raízes são
r = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i.

Passo 4

Como as raízes são complexas r = a \pm bi com a=2 e b=1, a teoria diz que a solução geral da ODE é
y(x) = e^{ax}\bigl(C_{1}\cos(bx) + C_{2}\sin(bx)\bigr).
Substituindo a=2 e b=1, obtemos a solução geral.

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr),
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x) = e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).

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