Resolva equaçãoes linear com coeficientes constantes:
y^{\prime}-2 y=t^{2} e^{2 t}.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes
y' - 2y = t^{2}e^{2t},
e pede a solução geral y(t). Para resolver, vamos usar o fator integrante e a teoria de equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Identificamos que a equação está na forma
y' + p(t)\,y = q(t)
com p(t) = -2 e q(t) = t^{2}e^{2t}. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\displaystyle\int p(t)\,dt} = e^{\displaystyle\int -2\,dt} = e^{-2t}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(t)=e^{-2t}, obtendo
e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y = t^{2}e^{2t}e^{-2t}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y\,e^{-2t}, pois
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-2t}\bigr) = e^{-2t}y' + y\bigl(-2e^{-2t}\bigr) = e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-2t}\bigr) = t^{2}.

Passo 4

Integramos em relação a t:
y\,e^{-2t} = \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^{2t}:
y(t) = e^{2t}\Bigl(\frac{t^{3}}{3} + C\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{2t}\Bigl(\frac{t^{3}}{3} + C\Bigr),
com C constante arbitrária.

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