Verifique se as séries abaixo são séries telescópicas e determine se elas são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é uma série telescópica e, em caso afirmativo, decidir se ela converge (e para que valor). Informações dadas: a soma é indexada por
e o termo genérico é a diferença de duas potências da função exponencial avaliada em
e
:
Nenhuma outra informação (figura, tabela, etc.) foi fornecida.
Passo 2
Vou explicar o que é uma série telescópica de um jeito simples. Uma série é chamada de telescópica quando, ao somarmos os primeiros
termos (o que chamamos de soma parcial
), muitos termos internos se cancelam entre si, sobrando apenas alguns termos no início e no fim. Isso facilita muito porque conseguimos escrever
de forma simples e então estudar o limite quando
. A estratégia é calcular explicitamente
e ver se há cancelamento.
Passo 3
Calculemos a soma parcial
somando os primeiros
termos:
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
Agora observe o cancelamento:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto,
Como a soma parcial ficou numa forma simples envolvendo apenas duas parcelas, isso confirma que a série é telescópica.
Passo 4
Agora analisamos a convergência usando a expressão de
. Para decidir se a série converge, calculamos o limite
Sabemos que
quando
. A função exponencial é contínua, então
Logo
Como a sequência de somas parciais tem limite finito, a série converge e sua soma é
.
Passo 5
Só para reforçar alguns pontos úteis na prova: (i) o termo geral
satisfaz
(condição necessária para convergência), o que aqui é claro porque ambas as parcelas tendem a
; (ii) todos os
são positivos já que
é crescente e
, então a série é de termos positivos e a convergência anterior implica também convergência absoluta. Mas o passo chave foi o cancelamento telescópico que nos deu
.
Resposta
Sim — é uma série telescópica.
Converge e
Converge e