Verifique se as séries abaixo são séries telescópicas e determine se elas são convergentes.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}}\right)
é uma série telescópica e, em caso afirmativo, decidir se ela converge (e para que valor). Informações dadas: a soma é indexada por n=1,2,\dots e o termo genérico é a diferença de duas potências da função exponencial avaliada em 1/n e 1/(n+1):
a_n = e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}}.
Nenhuma outra informação (figura, tabela, etc.) foi fornecida.

Passo 2

Vou explicar o que é uma série telescópica de um jeito simples. Uma série é chamada de telescópica quando, ao somarmos os primeiros N termos (o que chamamos de soma parcial S_N), muitos termos internos se cancelam entre si, sobrando apenas alguns termos no início e no fim. Isso facilita muito porque conseguimos escrever S_N de forma simples e então estudar o limite quando N\to\infty. A estratégia é calcular explicitamente S_N e ver se há cancelamento.

Passo 3

Calculemos a soma parcial S_N somando os primeiros N termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
\begin{aligned} S_N &= \left(e^{\frac{1}{1}}-e^{\frac{1}{2}}\right) +\left(e^{\frac{1}{2}}-e^{\frac{1}{3}}\right) +\left(e^{\frac{1}{3}}-e^{\frac{1}{4}}\right) +\cdots +\left(e^{\frac{1}{N}}-e^{\frac{1}{N+1}}\right). \end{aligned}
Agora observe o cancelamento: -e^{\frac{1}{2}} cancela com +e^{\frac{1}{2}}, -e^{\frac{1}{3}} cancela com +e^{\frac{1}{3}}, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto,
S_N = e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{N+1}}.
Como a soma parcial ficou numa forma simples envolvendo apenas duas parcelas, isso confirma que a série é telescópica.

Passo 4

Agora analisamos a convergência usando a expressão de S_N. Para decidir se a série converge, calculamos o limite
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(e^{1} - e^{\frac{1}{N+1}}\right).
Sabemos que \frac{1}{N+1}\to 0 quando N\to\infty. A função exponencial é contínua, então
\lim_{N\to\infty} e^{\frac{1}{N+1}} = e^{0} = 1.
Logo
\lim_{N\to\infty} S_N = e - 1.
Como a sequência de somas parciais tem limite finito, a série converge e sua soma é e-1.

Passo 5

Só para reforçar alguns pontos úteis na prova: (i) o termo geral a_n=e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}} satisfaz \lim_{n\to\infty} a_n=0 (condição necessária para convergência), o que aqui é claro porque ambas as parcelas tendem a 1; (ii) todos os a_n são positivos já que e^x é crescente e \frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}, então a série é de termos positivos e a convergência anterior implica também convergência absoluta. Mas o passo chave foi o cancelamento telescópico que nos deu S_N=e-e^{1/(N+1)}.

Resposta

Sim — é uma série telescópica.
Converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}}\right)=e-1.

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