Resolva as equações:
30 x+17 y=201;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear diofantina
30x + 17y = 201
isto é, encontrar todas as soluções inteiras (x,y). Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides para achar gcd(30,17) e depois o método de extensão de Euclides para obter uma solução particular; por fim, escrevemos a solução geral.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular gcd(30,17):
30 = 17 times 1 + 13, 17 = 13 times 1 + 4, 13 = 4 times 3 + 1, 4 = 1 times 4 + 0
Logo gcd(30,17)=1, que divide 201. Assim, existem soluções inteiras.

Passo 3

Agora usamos as etapas acima “de trás para frente” para achar coeficientes u,v tais que
30u + 17v = 1
Da linha 13 = 4cdot3 + 1 temos
1 = 13 - 4cdot3
E da linha 4 = 17 - 13 vem
1 = 13 - (17 - 13)cdot3 = 13cdot4 - 17cdot3
Como 13 = 30 - 17, obtemos
1 = (30 - 17)cdot4 - 17cdot3 = 30cdot4 - 17cdot7
Portanto uma combinação é u=4, v=-7.

Passo 4

Multiplicamos essa solução de 30u+17v=1 por 201 para resolver
30x + 17y = 201
Isso dá uma solução particular
x0 = 4cdot201 = 804, y0 = -7cdot201 = -1407
Como o coeficiente de x é 30 e de y é 17, a solução geral para a diofantina é
x = x0 + 17t = 804 + 17t, y = y0 - 30t = -1407 - 30t,
com tinZ.

Resposta

x = 804 + 17t, y = -1407 - 30t, tinZ

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