Resolva as equações:
47 x+29 y=1288;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diofantina
47x + 29y = 1288
ou seja, encontrar todos os pares de inteiros (x,y) que satisfazem essa igualdade. Vamos usar o Algoritmo de Euclides para achar gcd(47,29)=1 e, em seguida, a identidade de Bézout para obter uma solução particular.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides em 47 e 29:
47 &= 29 cdot 1 + 18, 29 &= 18 cdot 1 + 11, 18 &= 11 cdot 1 + 7, 11 &= 7 cdot 1 + 4, 7 &= 4 cdot 1 + 3, 4 &= 3 cdot 1 + 1, 3 &= 1 cdot 3 + 0
Chegamos a gcd(47,29)=1.

Passo 3

Agora voltamos substituindo para escrever 1 como combinação linear de 47 e 29:
1 &= 4 - 3cdot1, 3 &= 7 - 4cdot1, 4 &= 11 - 7cdot1, 7 &= 18 - 11cdot1, 11 &= 29 - 18cdot1, 18 &= 47 - 29cdot1
Fazendo as substituições (identidade de Bézout) obtém-se
1 = 13cdot29 ;-;8cdot47

Passo 4

Multiplicamos essa identidade por 1288 para achar uma solução particular de
47x + 29y = 1288:
1288 = 1288,(13cdot29 - 8cdot47) ;Longrightarrow; 47l(-1288cdot8r) + 29l(1288cdot13r) =1288
Logo, uma solução particular é
x0 = -1288cdot8 = -10304, y0 = 1288cdot13 = 16744

Passo 5

Para simplificar, introduzimos o parâmetro tinZ. A forma geral das soluções é
x = x0 + 29t, y = y0 - 47t
Substituindo x0 e y0:
x = -10304 + 29t, y = 16744 - 47t

Passo 6

Escolhemos t de modo a obter valores menores. Se t=356, temos
x = -10304 + 29cdot356 = 20, y = 16744 - 47cdot356 = 12
Portanto, uma solução “pequena” é (20,12). Assim a fórmula geral fica
x = 20 + 29n, y = 12 - 47n, ninZ

Resposta

x = 20 + 29n, y = 12 - 47n, ninZ

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