Resolva as equações:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diofantina
ou seja, encontrar todos os pares de inteiros
que satisfazem essa igualdade. Vamos usar o Algoritmo de Euclides para achar
e, em seguida, a identidade de Bézout para obter uma solução particular.
Passo 2
Aplicando o Algoritmo de Euclides em 47 e 29:
Chegamos a
.
Passo 3
Agora voltamos substituindo para escrever
como combinação linear de
e
:
Fazendo as substituições (identidade de Bézout) obtém-se
Passo 4
Multiplicamos essa identidade por
para achar uma solução particular de
Logo, uma solução particular é
Passo 5
Para simplificar, introduzimos o parâmetro
. A forma geral das soluções é
Substituindo
e
:
Passo 6
Escolhemos
de modo a obter valores menores. Se
, temos
Portanto, uma solução “pequena” é
. Assim a fórmula geral fica