Seja V=R^4, considere os conjuntos
W1=(x, y, z, w) in R^4: y=z
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: x=w=0 e y=-z
Encontre W1+W2.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço V=R^4 e dois subespaços:
W1=(x,y,z,w)inR^4:y=z, W2=(x,y,z,w)inR^4:x=0, w=0, y=-z
O conteúdo aqui é soma de subespaços vetoriais, ou seja,
W1+W2=u+v : uin W1,,vin W2

Passo 2

Descrevemos W1 de forma paramétrica. A condição y=z
u=(x,y,y,w)=x(1,0,0,0)+y(0,1,1,0)+w(0,0,0,1),
logo dim W1=3 e uma base é (1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1).

Passo 3

Para W2, as condições x=0, w=0 e y=-z implicam
v=(0,t,-t,0)=t,(0,1,-1,0),
logo dim W2=1 e uma base é (0,1,-1,0).

Passo 4

Tomemos um vetor genérico em W1+W2:
u+v=(x,s,s,w)+(0,t,-t,0)=(x,;s+t,;s-t,;w)
Como s e t variam livremente em R, definimos
y=s+t, z=s-t
Para dados arbitrários (x,y,z,w)inR^4, basta escolher
s=y+z2, t=y-z2,
e então (x,y,z,w)=(x,s,s,w)+(0,t,-t,0)in W1+W2.

Passo 5

Concluímos que qualquer vetor de R^4 pode ser escrito como soma de um elemento de W1 e de um elemento de W2. Portanto
W1+W2=R^4

Resposta

W1+W2=R^4.

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