Seja V=R^4, considere os conjuntos
W1=(x, y, z, w) in R^4: y=z
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: x=w=0 e y=-z
É correto afirmar que V=W1 oplus W2 ? Qual o significado disso?

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^4 e os subconjuntos
W1=(x,y,z,w)inR^4 : y=z, W2=(x,y,z,w)inR^4 : x=0,;w=0,;y=-z,
e pergunta se V=W1oplus W2, ou seja, se todo vetor de V pode ser escrito de modo único como soma de um vetor em W1 e um vetor em W2.

Passo 2

Note que W1 e W2 são definidos por equações lineares homogêneas em R^4. Qualquer conjunto definido por condições lineares homogêneas é subespaço, logo W1 e W2 são subespaços de V.

Passo 3

Calculemos as dimensões:
Para W1, a condição y=z permite escrever um vetor como
(x,y,z,w)=(x,y,y,w)=x(1,0,0,0)+y(0,1,1,0)+w(0,0,0,1)
Uma base é (1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1), logo
dim(W1)=3
Para W2, temos x=0, w=0 e y=-z, então
(x,y,z,w)=(0,-z,z,0)=z,(0,-1,1,0)
Uma base é (0,-1,1,0), logo
dim(W2)=1

Passo 4

Verifiquemos a interseção W1cap W2. Se (x,y,z,w)in W1cap W2 então
em W2 vem x=0, w=0, y=-z
e em W1 vem y=z. Assim
y=ze y=-z Longrightarrow y=z=0,
de onde (x,y,z,w)=(0,0,0,0). Logo
W1cap W2=0

Passo 5

Como
dim(W1)+dim(W2)=3+1=4=dim(V)
e a interseção é trivial, pelo teorema da soma direta segue que
V=W1oplus W2
Isto significa que todo vetor vin V pode ser escrito de forma única como
v=w1+w2,
com w1in W1 e w2in W2.

Resposta

Sim, V=W1oplus W2. Isso significa que cada vetor de R^4 se decompõe de modo único em um vetor de W1 mais um vetor de W2.

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