Seja
, considere os conjuntos
e
É correto afirmar que
? Qual o significado disso?
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e os subconjuntos
e pergunta se
, ou seja, se todo vetor de
pode ser escrito de modo único como soma de um vetor em
e um vetor em
.
Passo 2
Note que
e
são definidos por equações lineares homogêneas em
. Qualquer conjunto definido por condições lineares homogêneas é subespaço, logo
e
são subespaços de
.
Passo 3
Calculemos as dimensões:
Para
, a condição
permite escrever um vetor como
Uma base é
, logo
Para
, temos
,
e
, então
Uma base é
, logo
Passo 4
Verifiquemos a interseção
. Se
então
em vem
,
,
e em vem
. Assim
em
e em
de onde
. Logo
Passo 5
Como
e a interseção é trivial, pelo teorema da soma direta segue que
Isto significa que todo vetor
pode ser escrito de forma única como
com
e
.
Resposta
Sim,
. Isso significa que cada vetor de
se decompõe de modo único em um vetor de
mais um vetor de
.