Resolva as equações abaixo, para x in R.
|x^2-52 x-14|=54

Passo 1

O enunciado pede resolver em R a equação
l|x^2-tfrac52x-tfrac14r|=tfrac54
O conteúdo principal é o conceito de valor absoluto: para l|Ar|=B com B>=0, devemos resolver
A=B e A=-B

Passo 2

Primeiro caso:
x^2-tfrac52x-tfrac14=tfrac54
Subtraindo tfrac54 dos dois lados:
x^2-tfrac52x-tfrac14-tfrac54=0 Longrightarrow x^2-tfrac52x-tfrac64=0 Longrightarrow 2x^2-5x-3=0

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara em
2x^2-5x-3=0,
o discriminante é
De<a=(-5)^2-4cdot2cdot(-3)=25+24=49,
logo
x=5pm74
Isto dá as raízes
x=5+74=3 e x=5-74=-tfrac12

Passo 4

Segundo caso:
x^2-tfrac52x-tfrac14=-tfrac54
Somando tfrac54 aos dois lados:
x^2-tfrac52x-tfrac14+tfrac54=0 Longrightarrow x^2-tfrac52x+1=0 Longrightarrow 2x^2-5x+2=0

Passo 5

Em
2x^2-5x+2=0,
temos
De<a=(-5)^2-4cdot2cdot2=25-16=9,
portanto
x=5pm34,
resultando em
x=5+34=2 e x=5-34=tfrac12

Passo 6

Como todas as soluções encontradas satisfazem a equação original (não surgiram condições extras), as raízes são
x=-tfrac12, x=tfrac12, x=2, x=3

Resposta

xinl-tfrac12,;tfrac12,;2,;3r

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