Resolva as equações abaixo, para x in R.
|x^2+2 x-2|=|x^2-x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação envolvendo valores absolutos
l|x^2+2x-2r| = l|x^2-x-1r|
Para isso vamos usar a propriedade
l|Ar| = l|Br|Long<=ftrightarrow A = B ou A = -,B

Passo 2

Caso 1: x^2+2x-2 = x^2-x-1.
Cancelando x^2 em ambos os lados,
2x - 2 = -,x - 1
3x = 1
x = tfrac13

Passo 3

Caso 2: x^2+2x-2 = -l(x^2-x-1r).
Isso dá
x^2+2x-2 = -x^2+x+1
2x^2 + x - 3 = 0
O discriminante é De<a = 1 + 24 = 25, logo as raízes são
x = -1 pm 54,
isto é,
x = 1 ou x = -tfrac32

Passo 4

Reunindo todas as soluções dos dois casos, obtemos
x in l-tfrac32,,tfrac13,,1r
Uma rápida verificação por substituição em cada termo dentro dos módulos mostra que não há raízes extraviadas.

Resposta

x = -tfrac32, x = tfrac13, x = 1

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